向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

向量运算是数学、物理学和工程学中的基础工具，广泛应用于各种科学和工程问题的解决中。其中，向量的点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）是最基本的两种运算方式，它们不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也发挥着关键作用。本文将详细介绍这两种运算的概念、计算方法及其几何意义，帮助读者全面理解向量运算的核心内容。

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n1）或一个1行n列（1n）的有序数组。

向量点乘（内积）

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

• a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
• a·b=0 正交，相互垂直
• a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘（外积、向量积）

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

叉乘公式

对于向量a和向量b：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

矩阵叉乘的特殊说明

说是矩阵的叉乘，其实是说的是两个向量的叉乘，矩阵是不能叉乘的。cross(A,B)返回向量A和B的叉乘，其中A，B必须是3个元素的向量！

比如

a=[1,2,3],b=[4,5,6],

则cross(a,b)=[-3 6 -3].

它表示的意思是三维空间中的两个点A(1,2,3)和B(4,5,6),再加上原点O，则构成的两个向量OA，OB，则cross(a,b)就是垂直平面OAB的向量，它的模是三角形OAB面积的2倍。结合上面的例子，假若点C(-3,6,-3),则向量OC就是平面OAB的法向量，|OC|就是三角形OAB面积的2倍。