二重积分的概念与计算方法详解

二重积分的概念与计算方法详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_74923758/article/details/145215710

二重积分是高等数学中的一个重要概念，它将一元函数的积分推广到了二元函数。本文通过曲顶柱体的体积来解释二重积分的计算方法，帮助读者更好地理解这一抽象的数学概念。

什么是积分？

一元函数的积分。具体计算过程，是将无数个小矩形加起来，然后求极限。

而今天我们要讲的积分，是二元函数的积分。我们可以用曲顶柱体的体积来理解。

什么是曲顶柱体？

它的底是xoy平面上的一个闭区域。顶是一个曲面。侧面是以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面。这就是曲顶柱体。

如何求曲顶柱体的体积

还是采用老办法---以直代曲。也就是用若干立方体来近似曲顶柱体

具体如下：

将曲顶柱体的底分成若干小块，我们用小的立方体来近似它。

这个立方体的底很好确定。那高呢？

我们可以在区域内任选一点，然后将此点的函数值选为高。

这样就确认了这个立方体

我们来计算一下这个立方体的体积。

这个底的面积是Δσi，然后区域内任选的一点是

再假设曲面函数是f（x，y）

代入一下，那么这个小立方体的体积是

而所谓的若干个小矩形就是把他们都加起来。

如果有无数个小矩形的话，就是对上面那个式子求极限（代表n有无穷个）。

于是我们大概就可以计算出曲顶柱体的体积。

而要严格定义曲顶柱体的体积，我们还需要用到二重积分。

这个D就是在xoy平面上的封闭区域

dσ表示的是区域D中，小矩形的面积

而f（x，y）指的是此小矩形中任意一点的函数值。

这里就不是n趋近于无穷，而是λ趋近于0

为什么呢？

怎么理解λ趋近于0

我峨嵋你需要将底部区域D划分为若干块，λ就是最大那一块的直径。

从这个定义可以看出

如果我们是平均划分，那么随着n增大，lambda在减小。

如果是非平均划分，随着n增大并不等价于λ趋近于0

所以我上面说，λ必须是最大那一块的直径。

二重积分的完整定义