如何推导椭圆的参数方程
如何推导椭圆的参数方程
椭圆基础知识
椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为2a
如何由椭圆定义推出椭圆标准方程呢？
如上图所示。由定义可得已知条件为 |MC1| + |MC2| = 2a
当M落在顶点P上时，可得另一已知条件 a^2 - b^2 = c^2
当有了已知条件之后，可以通过RT△MC1D和MC2D写出如下等式：
\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
该式可通过两边平方消除根式，且化简过程中要用a^2 - b^2代替c^2
该式化简有一定计算量，在此不写出详细步骤
但最终一定能化简为 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
即有了定义之后，椭圆上任意一点M满足该方程
椭圆标准方程：
当焦点在x轴时，\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)
当焦点在y轴时，\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)
焦距c与a，b的关系：a^2 - b^2 = c^2
椭圆面积公式：πab，当a=b时，即圆的面积公式πa^2
椭圆参数方程
如上图所示。分别作椭圆的外接圆和内接圆
容易得知两个圆方程分别为 x^2 + y^2 = a^2，x^2 + y^2 = b^2
取大圆上一点A（或小圆上一点B），连接OA与小圆相较于B
过点A作一条垂直直线，过点B作一条水平直线，相交于P
此时点P(x,y)在不在椭圆上并不知道，下面求出x和y的表达式
设∠AOD = θ，而OA = a，因此x = a cosθ
在△BOE中，OB = b，因此y = b sinθ
将(a cosθ, b sinθ)代入椭圆标准方程，等式成立
因此也就得到了椭圆的参数方程：
\begin{cases}
x = a cosθ \
y = b sinθ
\end{cases}
这里的θ称为离心角，而∠POD称为旋转角
由图可知离心角是由椭圆上一点和内接圆或外接圆确定的