阶乘与伽马函数浅谈
阶乘与伽马函数浅谈
阶乘与伽马函数是数学中两个重要的概念，它们在组合数学、概率论、物理学等领域有着广泛的应用。本文将从阶乘的定义出发，逐步介绍双阶乘的概念，最后引出伽马函数的定义及其历史背景。
一、阶乘
(1) 认识阶乘
阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号，指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。符号语言如下：
特别的，
由上面的式子可以看出，n的取值范围是全体自然数，例如：
(2) 扩充阶乘的定义
如果仍按(1)中的定义，那么阶乘的可使用范围就显得有些狭小。下面将阶乘的范围扩充：
这样一来，n的范围就由自然数扩充到了全体整数。
(3) 双阶乘
我们接着引入双阶乘：当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积；当m是负奇数时，表示绝对值不超过它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数。
这一串定义看起来不大友好，那么就让“简洁”的符号来代替：
好像更加不友好（为什么每次都得扯上大型运算符）。举几个例子：
这下总该明了一些了吧。
另外，
还有一个重要等式：
把左边式子按定义展开，即可得到右边。
二、阶乘函数
阶乘函数其实并不是很常用，更常用的是(三)中的那个可怕的家伙。这里只给出函数
在
时的图像：
三、广义阶乘函数——伽马函数
如果你感到不解，很正常，或许比所有人都迷糊，闭上眼，让思绪飞一会——
但如果你觉得头脑仍然清晰无比，很好，那就让我们领略真正的数学——伽马函数（前方高能）。
前面提到的阶乘函数的定义域都仅限于整数，甚至连有理数都无法涉足。这个伽马函数（又称欧拉第二积分）一下子把阶乘函数的定义域扩展到了全体实数。这个函数是用一个反常积分式定义的，不是初等函数。伽马函数也可继续扩展到复数范围内，这里我们只浅浅地见识一下实数范围内的（无论什么范围都将我搞得无所适从）。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列
,
,
,.....
可以用通项公式
自然的表达，即便
为实数的时候，也可以找到一条平滑的曲线
通过所有的整数点（
,
），从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列
,
,
,
,
,...
,可以计算
,
,是否可以计算
呢？把最初的一些（
,
）的点画在坐标轴上，确实可以看到，可以画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教伯努利，由于欧拉当时和伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于
年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛 函数的诞生，当时欧拉已经30岁左右。
一起来欣赏它的表达式：
顺便看看它的图像：
怎么样，是不是看上去就有一种对数学的敬畏之情？
在我大脑超负荷之前，最后给出几个伽马函数的性质：
好了，今天的分享就到这里，文中若有不足之处或可改进之处，真诚希望读者提出宝贵意见，笔者定会立即改正！