棱柱、棱锥和棱台的体积计算公式及推导

棱柱、棱锥和棱台的体积计算公式及推导

棱柱、棱锥和棱台的体积

棱柱的体积
长方体的体积 $V$ 等于长方体的底面积 $S$ 与高 $h$ 的乘积，即 $V=Sh$ ．

如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为 $h$ ），底面积相等（都为 $S$ ），那么当我们用一个与底面平行的任意平面去截它们时（如图 4．5－11），可以证明这些截面的面积都等于 $S$ ，根据祖晅原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等．于是棱柱的体积计算公式为

$\overline{){V}_{\text{楼相}}=Sh}$

其中 $S$ 为棱柱的底面积，$h$ 为棱柱的高．

棱锥的体积
如图 4．5－13，我们可把三棱雉 ${A}^{\prime }-ABC$ 以 $\mathrm{△}ABC$ 为底面，$A{A}^{\prime }$ 为侧棱补成三棱柱 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }-ABC$ ，反过来，也可把这个三棱柱分割成三个三棱雉 ${A}^{\prime }-ABC$ ， ${B}^{\prime }-{A}^{\prime }BC,{C}^{\prime }-{A}^{\prime }{B}^{\prime }C$.

三棱锥 ${A}^{\prime }-ABC,{B}^{\prime }-{A}^{\prime }BC$ 都可将点 $C$ 看作顶点，则它们的底面分别为 $\mathrm{△}AB{A}^{\prime },\mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }B$ ，且点 $C$ 到平面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 的距离均可作为这两个三棱锥的高．由 ${S}_{\mathrm{△}AB{A}^{\prime }}={S}_{\mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }B}$ 可知，${V}_{{A}^{\prime }-ABC}={V}_{{B}^{\prime }-{A}^{\prime }BC}$ ．同理可得，${V}_{{B}^{\prime }-{A}^{\prime }BC}={V}_{{C}^{\prime }-{A}^{\prime }{B}^{\prime }C}$ ，故

${V}_{{A}^{\prime }-ABC}={V}_{{B}^{\prime }-{A}^{\prime }BC}={V}_{{C}^{\prime }-{A}^{\prime }{B}^{\prime }C}=\frac{1}{3}{V}_{\text{三棱柱}}.$

于是，三棱锥的体积是等底面积，等高的三棱柱体积的三分之一。

将其推广到一般的棱锥，可得棱锥的体积公式为

$\overline{){V}_{\text{㮦维}}=\frac{1}{3}Sh}$

其中 $S$ 为棱锥底面积，$h$ 为棱锥的高．

此公式也适用于计算圆锥的体积．

棱台的体积
由于棱台可看作是用平行于棱雉底面的一个平面截这个棱雉得到的，因此，棱台的体积可以用两个棱雉的体积差来计算，如图 4．5－15所示．

经过计算（过程从略）得出棱台的体积计算公式为

$\overline{){V}_{\text{棱台}}=\frac{1}{3}\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+{S}^{\prime }\right)h}$

其中 ${S}^{\prime },S$ 分别为棱台的上底，下底面积，$h$ 为棱台的高．

由于棱柱（两底面面积相等）与棱雉（一个底面面积为 0 ）都可看作棱台的特殊情况，因此棱柱，棱椎，棱台的体积计算公式之间有如下关系：