高等数学二从零开始学习的总结笔记
高等数学二从零开始学习的总结笔记
本文总结了高等数学二(数二)的学习经验,重点介绍了函数、极限、连续、积分和微分方程等方面的解题技巧和方法。
高等数学
一、函数、极限、连续
- 等价无穷小的使用
在$x \rightarrow 0$时,等价无穷小特别重要,在题目中经常会使用。但要尤其注意,只有乘法时才可以使用。例如,在$x \rightarrow 0$时$\sin x \sim x$,$\sin x / x$可以转换为$x / x$但是$\sin x - x$并不可以转换。
- $x^x$型求极限
形如$x^x$的求极限的题目,可以利用$e^{\ln x} = x$来转换,或者利用一个重要极限$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$和$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x = e$。
例如$x^x$,可以转换成$e^{x \ln x}$,然后对$t = x \ln x$求极限即可,最后求出$e^t$即为结果。
- 提取
有时候遇到一些积分,不太好算,但是其单个求极限为常数,可以提取出去$\lim_{x \to 0} (ax \cdot bx) = \lim_{x \to 0} (ax) \cdot \lim_{x \to 0} (bx)$。
例如$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 可以提取出$\frac{\tan x}{x}$,最后转换为$(\frac{\tan x}{x}) \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2}$。
- $\sqrt{a} - \sqrt{b}$型
这种只有一种方式一般 转换为$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
- 间断点的判断
求$x = x_0$处的左右极限:
- 左右极限都存在,第一类间断点
- $\lim_{x \to x_0^-} = \lim_{x \to x_0^+} \Rightarrow$可去间断点
- $\lim_{x \to x_0^-} \neq \lim_{x \to x_0^+} \Rightarrow$跳跃间断点
- 非一类间断点即为第二类间断点
判断间断点,一般判断分段点,和无定义点,例如$\frac{1}{x}$,$x = 0$即为无定义点。
- 有界和极限存在
遇到有界就用$y = 1$和$-1$不断循环的,不收敛但有界来判断就行。判断数列极限存在,一般利用归纳法,并且判断出 有下界+递减 或者 有上界+递增。然后一般假设$\lim_{n \to \infty} a_n = A$,然后根据$a_{n+1}$和$a_n$的公式同时求极限,就可以算出$A$。
- 同阶无穷小判断未知数
例如,已知$\sin x \sim ax^b$等价无穷小,当然题目不会给这么简单,大致方法就是把$\sin x / ax^b$然后不断求,利用同阶无穷小和洛必达等,把上面$(\sin x)$变为常数级别或者比较低阶,假如最后为$1 / ax^{b-1}$就可以判断出$b-1=0$,所以$b=1$,然后再带回$b=1$,重新算一次,就可以得出$a$。
- $x \rightarrow \infty$
大多数情况上下同除最高阶,或者利用$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x = e$来求解。
- $x^x$精度问题
由于使用$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x \sim e$是近似等于$e$,所有有些题可能会导致答案不正确,但大部分题目都没有问题,如果精度不够就使用$e^{\ln x}$的形式来做题。
例如:$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^{x \cdot x} / e^x = e^{-1/2}$,如果使用$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x \sim e$,结果就为$1$。
- $a + b / x^n$
如果$a / x^n$和$b / x^n$的极限均存在,则可以将$\lim_{x \to 0} (a + b / x^n)$转换为$\lim_{x \to 0} (a / x^n) + \lim_{x \to 0} (b / x^n)$。
例如:$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^3}$
可以转换如下:$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x - 6x}{x^3} + \lim_{x \to 0} \frac{x f(x)}{x^3}$。
求$n \rightarrow \infty$数列的求极限
一般利用夹逼定理,把所有项变成第一项和最后一项,然后我们要求的函数就被“夹”,其实做多了,求其中一个(最大 or 最小)的极限就是答案。
利用积分公式
一般转换为$[0,1]$区间
求一个积分即可得到答案
- 包含积分的求极限
其中$a = 0$,$b = x$,只需求导一次,即可转换为$f(x)$,一般这种题一定会让至少使用一次洛必达定理。
三角函数包含三角函数,$\sin(\sin x)$
设$\sin x = t$,则原式子可转换为$\sin t$,注意这种题的无穷小最好等价替换$x \rightarrow \sin x$,而且同一个三角函数会出现很多次。
利用等价无穷小,]例如$\tan x - x \sim x^3 / 3$
例题:$\lim_{x \to 0} \tan(\tan x) - x / x^3$
可以转换为: $\lim_{x \to 0} (\tan(\tan x) - \tan x) / x^3 + \lim_{x \to 0} (\tan x - x) / x^3$可以直接利用等价无穷小求出答案。
$x \rightarrow -\infty$的情况
可以转换为$t = -x$,$t \rightarrow +\infty$,单纯需要变号好算的时候使用,例如,$\sqrt{a+x} \Rightarrow \sqrt{a - t^2}$
注意$1/x$和$e^x$的使用,他们在趋近与$-\infty$和$+\infty$的结果不一样。
$f(b)-f(a)$类型
利用拉格朗日定理 将$f(b)-f(a) = f(\xi)(b-a)$转换, 其中 $a \leq \xi \leq b$
所以,然后分别求$\xi=a$和$\xi=b$的情况下,$f(\xi)(b-a)$的值,利用夹逼定理一般可以得出结果。
- 法线和切线方程
设函数$y = f(x)$,则在$(x_0,y_0)$点
切线方程$y - y_0 = f’(x_0)(x-x_0)$
法线方程$y - y_0 = -(x-x_0)/f’(0) \Rightarrow$就是斜率的倒数并且加上负号
- 含t变量求导数
假设
$x = x(t), y = y(t)$
则一阶导数$dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y’/x’$(对$t$求导)
二阶导数$(dy/dx)’/x’$(对$t$求导)
- 极大值和极小值的判断
设方程$y = f(x)$
若$y’ = 0$,
则若$y’’ > 0$,极小值,若$y’'<0$,极大值
- 是否可导和连续的判断
因为有些不能直接求$f’(x)$来运算
首先$y = f(x)$在$a$点的导数可以用如下公式计算
然后分别求在$a+$和$a-$的导数,若不相同且都存在,则可导
同时还有定义式,注意,两个$f(x)$只有一个能出现($\Delta x$)
求连续,求在$a+$和$a-$的极限是否相同
例如$e^{1/x}$在$0$点$f(0-0) = 0$,$f(0+0) = +\infty$,所以不连续
积分
方程$y = f(x)$绕$x$轴旋转的体积,其中$a,b$是$y =f(x)$在$x$轴的交点
绕$y$轴旋转体体积公式
以上方式均用元素法求出的结果,基本上可以无脑套
微分方程
3.二阶微分方程
$t_1 : y’‘+p(x)y’+q(x)y = 0$ 二阶齐次线性微分方程
$t_2 : y’‘+p(x)y’+q(x)y= f(x)$ 二阶非齐次线性微分方程
if $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$
$t_2’(1) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f_1(x) t_2’(2) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f_2(x)$
推论一:
$o_1(x),o_2(x)$为$t_1$的解 $\Rightarrow k_1o_1(x)+k_2o_2(x)$也为$t_1$的解
其中$o_1$和$o_2$线性无关(不成比例),则$t_1$的通解为$y = C_1o_1(x)+C_2o_2(x)$
推论二:
$o_1(x)$为$t_1$的解,$o_2(x)$为$t_2$的解,则$o_1(x)+o_2(x)$为$t_2$的解
若$o_1$和$o_2$为$t_1$的线性无关的解,$o_3$为$t_2$的特解,则$C_1o_1(x)+C_2o_2(x)+o_3(x)$为$t_2$的通解
推论三:
$o_1,o_2$为$t_2$的解,则$o_1(x)-o_2(x)$为$t_1$的解
推论四:
$o_1$为$t_2’(1)$的解,$o_2$为$t_2’(2)$的解
则$o_1(x)+o_2(x)$为$t_2$的解(拆开相加)
4.二阶常系数微分方程
格式$y’‘+py’+qy = 0$
特征方程: $r^2+ pr + q = 0$
$\Delta = p^2-4q>0$ $y_1 = C_1 * e^{r_1x}y_2 = C_2 * e^{r_2x}$
通解为$y_1+y_2$
$\Delta= 0$,$y = C_1 * e^{rx}+ C_2 * x * e^{rx}$
$\Delta < 0$ , $r = n ± im$ , $y_1 = e^{nx}* \cos(mx) + e^{nx}* \sin(mx)$
$y = e^{nx}* (C_1\cos(mx)+C_2\sin(mx))$
求二阶常系数非齐次微分方程时,求$t_2$的特解(非齐次),$t_1$的通解(齐次),然后求和即可
在求特解时,有以下几种情况:
$f(x) = p(x)e^{kx}$其中$k$可以取$0$,退化为$p(x)$
假设$r_1 = k_1$,$r_2 = k_2$,假设时,$y_3 = x^n*p(x) * e^{kx}$
其中$n$的取值为,$r_1$,$r_2$与$k$相同的个数,假设$p(x)$为线性方程,且相同个数为$0$,则假设为$y_3 = (ax+b)e^{kx}$
特性:齐次线性方程组的解和为$0$,依旧为齐次的解,例如$y_1,y_2$为$y$的解,那么$y_1-y_2$依旧为$y$的解
:非齐次时,和为$1$,依旧为非齐次的解,例如$y_1,y_2$为$y$的解,那么$y_1/2+y_2/2$依旧为$y$的解