初中数学选讲：绝对值的几何意义例题

初中数学选讲：绝对值的几何意义例题

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/yapingxin/article/details/140237238

本文通过一道初中数学题目，详细讲解了绝对值的几何意义及其应用。通过分段讨论的方法，逐步推导出当x在a和b之间时，|x-a|+|x-b|取得最小值的结论。

1. 练习题目

1.1 题目描述

有2个不相等的实数a、b，b > a。
问：当x取何值，或x满足什么条件时，|x-a|+|x-b|最小。证明你的结论。

本题是面向初一下学期的学生出的一道思考题，题目难度为基础级。

1.2 分析

这道题非常简单，只要掌握了以下两个思路，不难得出结论并给出证明：

• 绝对值的几何意义
  在数轴上，对任意一点a，其绝对值|a|等于点到数轴原点O之间的距离。
  
  对于数轴上两点a和x，|x-a|等于点a和点x之间的距离。
• 分段讨论：涉及到绝对值的题目，经常需要按照不同的取值区间分段讨论。这是最基本的分析方法之一。

2 答题

2.1 定义

将a、b、x三点表示在实数轴上，令x与a之间的距离为m，x与b之间的距离为n，a与b之间的距离为k。即：
$$
\begin{aligned}
|x-a|&=m\
|x-b|&=n\
|b-a|&=b-a=k
\end{aligned}
$$

2.2 分段讨论

x点可能存在3种情况，分别是：

• x点在a点左侧；
• x点在a点和b点之间；
• x点在b点右侧。
  下面分别针对这3种情况进行讨论。

2.2.1 情况1：x点在a点左侧（x < a, m = |x-a|且m > 0）

如图2-1所示，当x点在a点左侧时，n = m + k
则有
$$
|x-a|+|x-b|=m+n=m+(m+k)=2m+k
$$

2.2.2 情况2：x点在a点和b点之间，含x点与a点或b点重合的情况（x ≥ a且x ≤ b）

如图2-2所示，当x点在a点和b点之间时，k = m + n = b - a
则有
$$
|x-a|+|x-b|=m+n=k
$$

2.2.3 情况3：x点在b点右侧（x > b, n = |x-b|且n > 0）

如图2-3所示，当x点在b点右侧时，m = n + k
则有
$$
|x-a|+|x-b|=m+n=(n+k)+n=2n+k
$$

2.3 结论

综上所述，有：
由于m > 0、n > 0，所以：当且仅当x ≥ a且x ≤ b时，|x-a|+|x-b|取得最小值k（即b - a）。