欧拉公式——从旋转和螺旋线的角度再看
欧拉公式——从旋转和螺旋线的角度再看
欧拉公式是数学中一个令人惊叹的公式，它将自然对数的底数e、虚数单位i、圆周率π以及1和0这些看似无关的数学常数巧妙地联系在一起。本文将从复数的历史发展和几何意义出发，深入浅出地解释欧拉公式的美妙之处。
一、复数的修仙之路
在引入欧拉公式之前，我们先思考这样一个问题：为什么会有复数呢？
早在初中求解一元二次方程时，我们就遇到了根号下负数的情况。当时，老师通常会说，只有正数和零才有平方根，负数不能开方。
直到16世纪，意大利数学家拉斐尔·邦贝利首次提出需要负数的平方根来找到某些方程的真正解。半个世纪后，笛卡尔引入了"虚根"的概念。
18世纪，棣莫弗给出了著名的棣莫弗公式：
[cosx+isinx]^n=cosnx+isinnx
随后，欧拉用更简洁的形式统一了这些公式：
e^(ix)=(cos x+isin x)
特别地，当x=π时，得到：
e^(iπ)=-1
或：e^(iπ)+1=0
19世纪，阿尔冈提出用平面几何方法解释虚数，高斯将其命名为"复数"，并指出其包含实部和虚部。哈密尔顿证明了复数可以与平面中的有序数对对应。柯西、高斯等人发展了复数微积分，使其成为数学中的重要工具。
二、欧拉公式的图形之美
想象一条长度为1的红色线段在数轴上。当它乘以3时，长度变为蓝色线段；乘以-1时，线段旋转180度成为绿色线段。乘以虚数单位i则使线段旋转90度。
这揭示了虚数i的一个重要功能——旋转。实数轴与虚数轴共同构成了复平面。在复平面上，欧拉公式描述了一个随着时间变化而旋转的点，其轨迹形成一条螺旋线。
如果只看螺旋线在实数轴上的投影，就是一个最基础的余弦函数；在虚数轴上的投影则是一个正弦函数。欧拉公式还可以表示为：
e^(it) + e^(-it) = 2cos(t)
这表明余弦函数可以看作是两个旋转方向相反的螺旋线叠加的结果，正如两束极化方向不同的光波叠加时磁场相互抵消、电场加倍的现象。