常微分方程中的线性无关与朗斯基行列式

常微分方程中的线性无关与朗斯基行列式

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_43187295/article/details/144075741

线性无关与朗斯基行列式是常微分方程理论中的重要概念，它们不仅帮助我们理解函数之间的关系，还是判断微分方程解的性质的关键工具。本文将从线性无关的基本定义出发，详细介绍朗斯基行列式的概念、证明及其在常微分方程中的具体应用。

1. 线性无关

线性无关是线性代数中的一个基本概念，它描述了一组向量之间的关系。具体来说，如果一组向量中的任何一个向量不能被其他向量的线性组合所表示，那么这组向量就是线性无关的。换句话说，如果方程
的唯一解是
，那么向量
就是线性无关的。

2. 朗斯基行列式

朗斯基行列式（Wronskian determinant），也称为朗斯基行列式或朗斯基-罗内行列式，是用于判断一组函数是否线性无关的工具。对于一组函数
，它们的朗斯基行列式定义为：

其中
表示函数
的第 k 阶导数。

证明：

如果
在一个区间 [a,b] 上线性相关，则存在不全为零的系数
,使得对区间 [a,b] 上的任意t，都有：

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：

将
看做变量则上式变为一个n元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式W(f1, ..., fn)= 0。

3. 朗斯基行列式的使用

1. 考虑三个函数：1、x和x^2，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

4. 朗斯基行列式与二阶微分方程

我们对于

1. 基本解组的存在性：对于二阶齐次线性微分方程，如果存在两个线性无关的解
   和
   ，则它们的线性组合
   可以构成方程的通解。这里
   和
   被称为基本解组 。

2. 线性无关的判定：函数
   和
   是二阶齐次线性微分方程在区间
   上的两个解，它们的朗斯基行列式为:
   。这个公式表明，如果
   和
   的朗斯基行列式在某点不为零，则这两个解在区间 (a,b) 上线性无关 。

也就是说：
如果朗斯基行列式等于0，说明两个解是线性相关的
如果W(t)不等于0，说明两个解是线性无关的，且两个解叫做方程的两个基本解（fundamental solution）

5. 例题：

Example：Prove that
and
can not be two solutions of a equation

proof:
Hence,
and
not be two solution of