反常积分的概念和两种基本分类

反常积分的概念和两种基本分类

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/JiexianYao/article/details/140709039

反常积分是高等数学中的一个重要概念，它扩展了定积分的适用范围，使得我们能够处理积分区间无限或被积函数无界的积分问题。本文将详细介绍反常积分的概念及其两种基本分类，帮助读者更好地理解这一知识点。

反常积分的概念

反常积分之所以被称为"反常"，是因为其积分区间或被积函数存在"异常"情况，需要通过特殊的极限处理来计算积分值。

它与常见的定积分和不定积分的主要区别在于积分区间的有限性和被积函数的连续性要求。

对反常积分的两种"异常"情况讨论

积分区间上的"异常"

这种情况下，积分区间是无穷的，例如从某点到无穷大/从负无穷大到某点。

例子如下：

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x
$$

这里，积分上限是无穷大。

一般地，我们有如下定义：

设 $f(x)$ 在 $[a,+∞)$ 上连续，称

$$
\int_{a}^{+∞}f(x)dx=\lim_{b \to +∞}{\int_a^b{f(x)dx}}
$$

为 $f(x)$ 在 $[a,+∞)$ 上的反常积分。

• 若右边极限存在，则称此反常积分收敛；
• 若该极限不存在，则称此反常积分发散。

被积函数的"异常"

被积函数在积分区间内的某点/区间边缘上趋于无穷大，例如存在垂直渐近线的情况。例子如下

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x
$$

这里，被积函数在 $x^+=0$ 处趋于 $+∞$，$x^-$ 处趋于 $+∞$。

一般地，我们有如下定义：

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，且 $\lim_{x→b^-}{f(x)=∞}$，称

$$
\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{β \to b^-}\int_{a}^{β}f(x)dx
$$

为 $f(x)$ 为区间 $[a,b)$ 上的反常积分。

• 若右边极限存在，则称此反常积分收敛；
• 若该极限不存在，则称此反常积分发散。