如何证明1+1=2？

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@小白创作中心

如何证明1+1=2？

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澎湃

https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_19506124

在数学的世界里，即使是1+1=2这样简单的算式，也需要严谨的证明。本文将带你走进数学的基础世界，通过皮亚诺公理系统，逐步揭示1+1=2背后的深刻含义。

什么是自然数？

在证明1+1=2之前，我们首先要明确什么是自然数。这类似于几何学中从一些基本公理出发，逐步推导出复杂的定理。在代数学中，我们通常依赖于加法表和乘法表，但这些表本身也需要建立在更基本的原理之上。

根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：

公理 1. 0 是一个自然数。

公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。

在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

公理 3. 0 不是任何一个数的后继。

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：

公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。 也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。

有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。

图源：图虫创意

什么是加法？

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

对于任意自然数 m，0 + m = m；
对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

如何证明1+1=2？

至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了：

1 + 1
= S(0) + 1 （根据自然数的公理）
= S(0 + 1) （根据加法定义 2）
= S(1) （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）

事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以看看参考文献[1].

一些历史背景

上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。

根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。