RC电路中的零点和极点分析
RC电路中的零点和极点分析
在自动控制和电路理论中，零点和极点是描述系统特性的重要概念。本文将详细介绍零点和极点的定义、它们对系统的影响，以及在实际应用中的环路补偿方法。
一、零极点定义
零点和极点是在自动控制原理中用于描述系统特性的概念。
零点（Zero）：在传递函数的分子多项式等于零的解。即当系统的输入信号等于零时，输出信号不为零的情况下，输入信号与输出信号相等的点。在数学和电学中，零点也是系统程度上不能再超过的界限，具有特定的数学和物理意义。
极点（Pole）：在传递函数的分母多项式等于零的解。即当系统的输入信号不为零时，输出信号为零的情况下，输入信号与输出信号相等的点。极点的性质决定系统的稳定性，对系统的稳定性有直接影响。
零、极点定义了滤波器的特征，可以分析系统如何响应不同输入频率的信号的信息。
二、对系统影响
在电路理论和控制系统工程中，波特图提供了零、极点与系统输入与输出行为之间关系的直观可视化。
1. 零点的影响
零点在波特图上表现为增益的上升。零点越靠近高频，对应的增益越高，而在低频时增益较低；在零点附近，相位角变化较大，可引起系统的相位提升。一阶 RC 高通滤波器如下图所示：
其传递函数的拉氏变换为
，因此一阶 RC 高通滤波器的零点为
，极点为
，其幅频与相频波特图如下所示
由上图可以看出，在零点处，频率响应的振幅曲线的斜率增加。对于一阶系统，当角频率达到零点时，振幅曲线的斜率增加 20 dB/dec。这表示系统对该频率的信号的衰减更快。
2. 极点的影响
极点在波特图上表现为增益的下降。极点越靠近低频，对应的增益越高，而在高频时增益较低；在极点附近，相位角变化较大，可引起系统的相位延迟。一阶 RC 低通滤波器如下图所示：
其传递函数的拉氏变换为
，因此一阶 RC 低通滤波器的极点为
，其幅频与相频波特图如下所示
由上图可以看出，在极点处，频率响应的振幅曲线的斜率减小。对于一阶系统，当角频率达到极点时，振幅曲线的斜率减小 20 dB/dec。这表示系统对该频率的信号的衰减更慢。
三、环路补偿
环路补偿电路也称作补偿器，一般有单极点补偿、双极点单零点补偿、三极点双零点补偿，通常极点数总是多于零点数，这样可以提高系统的阶数，保持稳定。
1. 单极点补偿
单极点补偿，也叫主极点补偿，适用于电流型控制以及工作在DCM方式且滤波电容的ESR零点频率较低的电源。原理是把控制带宽拉低，在功率部分或加有其他补偿的部分的相位达到180度以前使其增益降到0dB。
2. 双极点单零点补偿
双极点单零点补偿适用于功率部分只有一个极点的补偿，如所有电流型控制和非连续方式电压型控制。
3. 三极点双零点补偿
三极点双零点补偿适用于输出带LC谐振的拓扑，如所有没有用电流型控制的电感电流连续方式拓扑。
C1和R2的主要作用是提升相位（提高低频增益），在保证稳定的情况下是越小越好；C2增加了一个高频极点，降低开关噪声干扰。
串联C1实质是增加一个零点，零点的作用是减小峰值时间，使系统响应加快，并且闭环越接近虚轴，效果越好，理论上C1越大越好，但考虑到超调量和调节时间，因为零点越距离虚轴越近，闭环零点修正系数Q越大，而Q与超调量和调节时间成正比，所以又不能太大，因此闭环零点要折中考虑。
并联C2实质是增加一个极点，极点的作用是增大峰值时间，使系统响应变慢，所以理论上C2也是越大越好，但考虑到当零极点彼此接近时，系统响应速度相互抵消，因此系统的C1要比C2大。