向量与几何：从基本概念到三角形重心和欧拉线

向量与几何：从基本概念到三角形重心和欧拉线

向量与几何是数学中的重要分支，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从向量的基本概念出发，探讨向量在几何中的应用，特别是向量在三角形重心和欧拉线等几何问题中的应用。

向量基本概念

向量叉乘：({\vec{a}\times \vec{b}}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\sin\theta)，方向依据右手定则。食指指向 (\vec{a})，拇指方向即为向量方向。叉乘后的向量模几何意义为平行四边形面积。

向量点积：(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2)。结果为标量。

不难发现，((\vec{a}\times\vec{b})) 与 (\vec{a},\vec{b}) 均垂直。在立体角度考虑。立体几何中求法向量就是求这个向量积。

(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a})。模显然相等，根据右手定则可判断方向相反。

三角形的五心

重心

在 (\Delta ABC) 中，(AD,CF,BE) 分别为角平分线。三条线交于一点 (G)，称 (G) 为 (\Delta ABC) 的重心。

满足 (\vec{AD}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}),AE=\dfrac{2}{3}\vec{AD},\vec{AG}=\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})=\dfrac{1}{3}(\vec{GB}-\vec{GA}+\vec{GD}-\vec{GA}))

将 (3) 乘过去，得

(-3\vec{GA}=\vec{GB}+\vec{GC}-2\vec{GA})

即

(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0})

反之，若点 (O) 满足 (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0})，则点 (O) 必定为 (\Delta ABC) 的重心。

同时，若令 (S_{\Delta ABG}=S_C,S_{\Delta AGC}=S_B,S_{\Delta BGC}=S_A)，则有 (S_A=S_B=S_C=\dfrac{1}{3}S_{\Delta ABC})。

因此

(\vec{GA}\cdot S_A+\vec{GB}\cdot S_B+\vec{GC}\cdot S_C=\vec{0})

同样成立。

奔驰定理

Lemma. 在任意的 (\Delta ABC) 内，任取一点 (O)，得 (OA,OB,OC)， (S_A\cdot \vec{OA}+S_B\cdot\vec{OB}+S_C\cdot\vec{OC}=\vec{0}) 恒成立。

Proof.

不妨首先钦定 (O) 为 (\Delta ABC) 重心。在 (OA) 上取一点 (A')，(OB) 上取一点 (B')，(OC) 上取一点 (C')。得子三角形 (A'B'C')。

分别记 (S_A\cdot \vec{OA},S_B\cdot\vec{OB},S_C\cdot\vec{OC}) 为 (\vec{OA'},\vec{OB'},\vec{OC'})。

则有 (\vec{OA'}+\vec{OB'}+\vec{OC'}=\vec{0})。

因此，(O) 是三角形 (A'B'C') 的重心。

由上，若证明 (O) 是三角形 (A'B'C') 的重心，则可证明命题。即需证明 (S_{\Delta OB'C'}=S_{\Delta OC'A'}=S_{\Delta OA'B'})。

(S_{\Delta OB'C'}=\dfrac{1}{2}|OB'|\cdot|OC'|\cdot\sin\alpha)

(=\dfrac{1}{2}S_A\cdot|OA|\cdot|OC|\cdot S_c\cdot \sin\alpha)

(=S_AS_BS_C)

同理可证明另外两个三角形面积等于 (S_AS_BS_C)。命题得证。

因此，重心，内心，垂心都有类似的结果。例如，对于内心，有

(a\cdot\vec{IA}+b\cdot\vec{IB}+C\cdot\vec{IC}=\vec{0})

对于外心，有

(\sin 2A\cdot\vec{OA}+\sin 2B\cdot\vec{OB}+\sin 2C\cdot\vec{OC}=\vec{0})

对于垂心，有

(\tan A\cdot\vec{OA}+\tan B\cdot\vec{OB}+\tan C\cdot\vec{OC}=\vec{0})

欧拉线

Lemma. 对于任意三角形 (ABC)，作 (AP) 垂直于 (BC)，(BH) 垂直于 (AC)，作角 (B) 的角平分交 (AC) 于点 (M)。作角 (A) 的角平分线 (AQ) 交 (BM) 于 (G)，不难发现 (G) 为该三角形内心。钦定三角形 (ABC) 的外心为 (O)，则有 (OGH) 三点共线。同时有 (\vec{OH}=3\vec{OG})。

即重心，外心，垂心三点共线，且重心在靠近垂心（(O)）的三等分点上。

Proof.

(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH},\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})，拆分之，得

(\vec{OA}-\vec{OG}+\vec{OB}-\vec{OG}+\vec{OC}-\vec{OG}=\vec{0})

则 (\vec{OG}=\dfrac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}))。

下面证明 (AH=2OD)。

作三角形 (ABC) 的外接圆。圆心为 (O)，延长 (OB) 交圆 (O) 于点 (A')，连接 (A'C,AA',AH,HC)，不难证明四边形 (AHCA') 为平行四边形。（两组对边分别平行。）

所以，(\vec{AH}=\vec{A'C}=2\vec{OD}=\vec{OB}+\vec{OC})。（可用解析几何方式证明，即将三角形 (ABC) 放到坐标系中，用坐标证明。）

(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})，再次代入 (\vec{OG}) 与 (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}) 关系，即可证明命题。

我们把这三点共的线称为欧拉线。