汉诺塔问题的多种解法
汉诺塔问题的多种解法
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，其核心在于将一个复杂的问题分解为更小的子问题。本文将从递归算法、非递归算法、双色汉诺塔以及启发式算法等多个角度，全面解析汉诺塔问题的解法。
一.汉诺塔问题及其递归算法
1.问题阐述
经典汉诺塔：
外文算法书对汉诺塔问题的描述：
2.算法步骤
三阶汉诺塔问题解题步骤
共需7步。
四阶汉诺塔问题解题步骤
共需15步
五阶汉诺塔问题解题步骤
可以清晰的看出分治思想以及递归过程
算法采用了分治的思想，利用递归的方式，完成n层汉诺塔的移动。
问题解法：
当n=1时，只要将编号为1的圆盘从柱子A直接移到柱子C上即可。
当n>1时，就需要借助另外一根柱子来移动。将n个圆盘由A移到C上可以分解为以下几个步骤：
(1) 将A柱子上的n-1个圆盘借助C柱子移到B柱子上;
(2) 把A柱子上剩下的一块圆盘从A柱子移到C柱子上;
(3) 最后将剩下的n-1个圆盘借助A柱子从B柱子移到C柱子上。
假定n是圆盘的数量，T(n)是移动n个圆盘的移动次数。
当n=1时，T(1)=1
当n=2时，T(2)=2T(1)+1
当n=3时，T(3)=2T(2)+1
- 递归关系式：
所以，n阶汉诺塔问题最少共需要2的n次方减1步
算法的时间复杂度为
3.代码表示：
void Hanoi(int numberOfDisks, char start, char destination ,char spare)
{
//只有一个盘子时，从起始桩移到目标桩
if (numberOfDisks == 1)
{
cout << "move the disk from peg 'start' to peg 'destination'<<endl;
}
//超过一个盘子时
else if(numberOfDisks > 1)
{
Hanoi(numberOfDisks-1, start , spare , destination); //将n-1个盘子移到过渡桩
cout << "move top disk from peg 'start' to peg 'destination' << endl; //将剩下的一个大盘移到目标桩
Hanoi(numberOfDisks-1, spare , destination , start); //将过渡桩的n-1个移到目标桩
}
}
二.汉诺塔问题的非递归算法
汉诺塔问题也可以借助非递归算法来解决，有许多种非递归算法可以解决汉诺塔问题，博主认为最常见的是利用递归二叉树，下面列举两种非递归算法。
1.利用二叉递归树
文献[4]指出：汉诺塔问题的递归算法代码与二叉树的中序遍历算法代码十分相似，故采用了二叉树的中序遍历，发现汉诺塔问题的算法步骤正好可以画成一棵完全二叉树，其中序遍历过程就是汉诺塔问题的算法步骤。
函数move(N-1,s,e,t) N:盘子数 ，s:起始桩 e:目标桩 t:过渡桩
** 完全二叉树结点个数正好是2^n-1,与汉诺塔最优解法的步骤数相同**
结点1到结点15正好对应4阶汉诺塔问题的15步
要解决的问题：
（1）第i步(即结点i)应移动哪一盘片？
由图可知，同一层总是处理同一盘片，
第LN层各结点编号的最大公约数为2^(LN-1)
所以，求出第i步对应的LN，就能求出应该移动哪一盘片
文献[4]给出的方法是：
LN=1 ,j=2;
cin>>i;
while(i%j==0)
{
j*=2;
LN++;
}
例如i=12,12%2=0,所以j=4，LN=2;
12%4=0，所以j=8,LN=3;
12%8!=0,所以LN=3，结点i在第三层
知道第i步应该移动谁之后，还要知道从哪移到哪
（2）如何确定每一步盘片移动的起止桩编号？
规律1：各层从左到右的第一个结点移动盘片时，起始桩编号都是1，目标是2或3（请看1，2，4，8四个结点）；
规律2：树的总层数N与结点i所在层数LN同奇或同偶时，目的桩为3，否则为2；
规律3：由图可知，树的每一层内都有固定回路，有的是“1->3，3->2，2->1",有的是“1->2，2->3，3->1"。周期都为3。
那么只需要知道 ：
1.所在层起始结点是哪种模式？(1->2还是1->3)
2.i在所在层的横向编号？(i是所在层从左到右的第几个结点）
3.i结点在循环回路中的第几个位置？（1/2/3）
问题1：所在层起始结点是哪种模式？(1->2还是1->3)
设结点i所在层的起始结点的起止桩编号为（s,d）
由规律1、2，s=1，d=3-(N-LN)%2，假设i=11,则LN=1，d由前面公式算出等于2，
所以，i所在层最左侧结点开始为"1->2"，则该层的循环回路为：“1->2，2->3，3->1"
问题2：i是所在层从左到右的第几个结点？
设是第Sn个，Sn=Round(i/2LN)（Round为四舍五入），例如i=11，则LN =1，Sn由前面公式得出为6，那么i在第1层从左往右的第6个结点。
问题3：i结点在循环回路中的第几个位置？
设在第p(1<=p<=3)个位置，p=(Sn-1)%3+1，例如i=11，则LN =1，Sn=6，p由前面公式算出等于3，所以结点i在“1->2，2->3，3->1"循环的第三步，也就是“3->1"。
所以，如果问：汉诺塔问题的走法中，第i步应该移动谁？怎么移动？
根据上面公式，求出LN，d，Sn，p的值，就可以做回答
2.利用逆序编码
文献[5]采用了逆序编码的方式
两种编码方式
3阶汉诺塔搬移：
4阶汉诺塔搬移：
去除4号盘的4层汉诺塔搬移顺序：
发现4层汉诺塔搬移中，去掉4号盘之后，剩下的搬移路径与3阶汉诺塔完全相同
得出结论：
完成 n 层汉诺塔的搬运，前 1，2，…，n-1 号圆盘的搬运次数、顺序与完成 n-1 层汉诺塔的搬运 相同。（只有在逆序编码时成立）
其他定理与算法代码可以去文献[5]中阅读。
三.双色汉诺塔
采用数学归纳法：
设f(n)为双色汉诺塔的移动规则，g(n)为普通汉诺塔的移动规则，n为圆盘个数。
很容易知：
** f(1) = g(1);**
** f(2) = g(2);**
** f(3) = g(3);**
假设 f(k) = g(k) , f(k+1)=g(k+1) 若能证明f(k+2)=g(k+2）,则结论得证
证明：
所以可得出结论，双色汉诺塔问题与普通汉诺塔问题相同
四.利用启发式算法解决汉诺塔问题
1.A算法处理汉诺塔
f(n)=g(n)+h(n)
A算法搜索图及各函数意义
关键在于估计函数h(n)的设计
一种设计方案是文献[7]，
** 设起始状态空间是I=<1，1，1>，目标状态空间是G=<3，3，3>，移动函数move(di，destination)。**
设g=G0+G1+G2，评价函数设计为：f(x)=g(x)+h(x)，h(x)=| g - (d0+d1+d2) |
发现此种方案只能保证找到解路径
文献[8]给出了另一种方案：
应用极值方法，考虑极端的情况，确定其上限和下限，把考虑对象限制在每个托盘中的最顶上的两个盘子。如果托盘中只有一个盘子，也没有关系，另一个盘子作为 0 处理；如果托盘中一个盘子都没有，那么最顶上的两个盘子都做 0 处理，这样不会影响结果。然后比较托盘 中最顶上两个盘子的权值的和，从而决定移动的方向。其移动的方向是：最小的权值之和的托盘移向具有较大的权值之和的托盘。
制定出以下几条规则：
- 规则1：if(a0) if(A.top==1&&B.top==1) { move(B,C); move(A,C);}
else { if(!move(A,B)) move(A,C);}
规则2：if(a==0&&b<c) if(!move(C,A)) move(B,A);
规则3：if((a==b)>c&&c!=0) if(!move(C,B)) move(C,A);
规则4：if(a>b&&b==c) if(!move(C,B)) move(B,C)
如上图，过程1运用了规则2，过程2运用了规则2，过程3运用了规则1，过程4运用了规则2，过程5运用了规则4，过程6运用了规则3，过程7运用了规则2，过程8运用了规则1，过程9运用了规则2，过程10运用了规则2。
2.利用问题规约法
方法与分治类似
画出每一步的状态空间图，图中的弧线代表逻辑或关系
参考文献：
文献[1] Ames W F . Computer Algorithms — Introduction to design and analysis (second edition)[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 1990, 31(6):602-602.
文献[2] 手撕“汉诺塔算法”之详细图解_灰小猿的博客-CSDN博客_汉诺塔算法
三阶汉诺塔问题算法步骤图来自文献[2]
文献[3] b站视频 【汉诺塔小游戏和递归思想】 https://www.bilibili.com/video/BV1Zh411y7XB?share_source=copy_web&vd_source=fa7199f346f857b079aeb8f19090512c (5阶汉诺塔问题图像来源）
文献[4] 彭伟.汉诺塔问题的非递归算法设计及可视化实现[J].武汉船舶职业技术学院学报,2011,10(06):55-59+72.
文献[5] 严海兵.基于逆序编码的汉诺塔非递归算法[J].苏州科技大学学报(自然科学版),2022,39(01):71-76.
文献[6] 王晓东． 计算机算法设计与分析－第 3 版［M］． 北京: 电子工业 出版社，2009．
文献[7] [AI]A*搜索练习题——3传教士3食人族、单臂机器人、汉诺塔_是土豆大叔啊！的博客-CSDN博客
文献[8] 陈炼,邓少波,万芳.A算法在梵塔问题中的应用[J].计算机工程,2005(08):168-170.
本文原文来自CSDN，部分内容参考自多篇学术文献