直流电路中RC充放电回路公式推导

直流电路中RC充放电回路公式推导

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/FlamBoyanceI/article/details/145491938

RC电路是电子工程中最基本的电路之一，其充放电过程遵循特定的物理规律。本文将通过微分方程的建立与求解，推导出电容从V1充电到V2以及从V1放电到V2所需的时间公式，为电路设计和分析提供理论依据。

RC电容充电时间推导

问题

一个VCC的直流电源上，仅接入电阻R和电容C，电容从V1电压充电到V2所需要的时间？

微分方程的建立与求解

1. 电路方程：根据基尔霍夫电压定律，电源电压
   V C C = V R + V C = R ⋅ i ( t ) + V C V_{CC} = V_R + V_C = R \cdot i(t) + V_CVCC =VR +VC =R⋅i(t)+VC
   其中电流
   i ( t ) = C d V C d t i(t) = C \frac{dV_C}{dt}i(t)=CdtdVC
   代入得微分方程：
   d V C d t + 1 R C V C = V C C R C \frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC}V_C = \frac{V_{CC}}{RC}dtdVC +RC1 VC =RCVCC

2. 通解与初始条件：
   解此一阶线性微分方程，初始条件为
   V C ( 0 ) = V 1 V_C(0) = V_1VC (0)=V1
   ，解得电容电压：
   V C ( t ) = V C C − ( V C C − V 1 ) e − t / ( R C ) V_C(t) = V_{CC} - (V_{CC} - V_1)e^{-t/(RC)}VC (t)=VCC −(VCC −V1 )e−t/(RC)
   直接把latex公式放到GGB中，显示的效果很不错呢，看看，这就是符合直觉的充电现象。水平灰线是VCC，蓝色线是电容开始的电压，RC是时间常数。

3. 求解充电时间：
   设
   V C ( t ) = V 2 V_C(t) = V_2VC (t)=V2
   代入方程并整理：
   V 2 = V C C − ( V C C − V 1 ) e − t / ( R C ) V_2 = V_{CC} - (V_{CC} - V_1)e^{-t/(RC)}V2 =VCC −(VCC −V1 )e−t/(RC)
   这里就是简单的一阶微分方程套公式ヾ(•ω•`)o
   解得时间 ( t )：
   t = R C ⋅ ln ⁡ ( V C C − V 1 V C C − V 2 ) t = RC \cdot \ln\left(\frac{V_{CC} - V_1}{V_{CC} - V_2}\right)t=RC⋅ln(VCC −V2 VCC −V1 )

最终公式

电容从 ( V_1 ) 充电到 ( V_2 ) 所需时间为：
t = R C ln ⁡ ( V C C − V 1 V C C − V 2 ) \boxed{t = RC \ln\left(\frac{V_{CC} - V_1}{V_{CC} - V_2}\right)}t=RCln(VCC −V2 VCC −V1 )
要求
V 1 < V 2 < V C C V_1 < V_2 < V_{CC}V1 <V2 <VCC
否则结果无物理意义。

放电公式

25/2/7补充，充电写了，干脆放电也写一下
仅RC回路中，从电容器从V1放电到V2的用时
V 2 = V 1 ⋅ e − t / ( R C ) V_2 = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}V2 =V1 ⋅e−t/(RC)

电路方程建立

在放电过程中，回路仅包含电阻 ( R ) 和电容 ( C )，无外部电源。根据基尔霍夫电压定律，电容电压 ( V_C ) 等于电阻电压 ( V_R )：
V C = V R V_C = V_RVC =VR
电流方向为电容放电方向，因此电流为负（( i(t) = -C \frac{dV_C}{dt} )）。代入电阻电压公式 ( V_R = R \cdot i(t) )，得：
V C = − R ⋅ C d V C d t V_C = -R \cdot C \frac{dV_C}{dt}VC =−R⋅CdtdVC
整理得到微分方程：
d V C d t + 1 R C V C = 0 \frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC} V_C = 0dtdVC +RC1 VC =0

求解微分方程

此方程为一阶线性齐次微分方程，通解为：
V C ( t ) = V 0 ⋅ e − t / ( R C ) V_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/(RC)}VC (t)=V0 ⋅e−t/(RC)
其中 ( V_0 ) 为初始电压。代入初始条件 ( V_C(0) = V_1 )，得：
V C ( t ) = V 1 ⋅ e − t / ( R C ) V_C(t) = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}VC (t)=V1 ⋅e−t/(RC)

计算放电时间

设放电到目标电压 ( V_2 ) 所需时间为 ( t )，则：
V 2 = V 1 ⋅ e − t / ( R C ) V_2 = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}V2 =V1 ⋅e−t/(RC)
两边取自然对数，解出 ( t )：
t = R C ⋅ ln ⁡ ( V 1 V 2 ) t = RC \cdot \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)t=RC⋅ln(V2 V1 )