圆周角定理

圆周角定理

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圆周角定理是欧氏几何中的一个重要定理，它描述了圆周角与圆心角之间的关系。具体来说，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。这一关系在解决与圆相关的几何问题时具有重要作用。

定理内容

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同一圆内同弧或等弧所对的圆周角相等。

定理证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

情况1：圆心O在∠BAC的一边上

如图1所示，当A、O、B在同一直线上时：

由于OA、OC是半径，所以OA=OC，从而∠BAC=∠ACO（等边对等角）。又因为∠BOC是△AOC的外角，所以∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC。

情况2：圆心O在∠BAC的内部

如图2所示，连接AO并延长AO交⊙O于D：

由于OA、OB、OC是半径，所以OA=OB=OC，从而∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）。又因为∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，所以∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD。因此，∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC。

情况3：圆心O在∠BAC的外部

如图3所示，连接AO并延长AO交⊙O于D：

由于OA、OB、OC是半径，所以OA=OB=OC，从而∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）。又因为∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角，所以∠DOB=2∠BAD，∠DOC=2∠CAD。因此，∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。

对于圆心角等于180度的情况，可以通过类似情况1的证明方法得到结论。而对于圆心角大于180度的情况，可以通过延长AO交圆于点D，并结合情况1和情况3的证明方法得到结论。

定理推论

1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
2. 半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3. 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

圆周角定理及其推论在解决与圆相关的几何问题时具有重要作用，是初中数学中的重要知识点。