三角函数之半角公式推导

三角函数之半角公式推导

本文将通过几何方法推导三角函数的半角公式，包括正弦、余弦和正切的半角公式。这些公式在数学和物理学中有着广泛的应用，是三角函数知识体系中的重要组成部分。

前置知识

• 公式1：(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1)

• 前知识1：三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

• 前知识2：圆周角定理（该定理之证明会援引前知识1），其中之一：圆的直径所对的圆周角是直角

如上图，(O)为原点，(PC)垂直于直径(AB)，(ＯＤ)垂直于(ＰＢ)。设圆的半径为1，(\angle POC=\theta)。

(\Delta POB)为等腰三角形，(\angle POC)为(\angle PBO)的外角。根据前知识1，(\angle PBO=\frac{\theta}{2})。根据前知识2，(\Delta BPA)为直角三角形，(\angle APB=90^{\circ})。

第一步

[
\begin{align}
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, \quad (公式1) \
\
\angle k+\angle f=90^{\circ} \
\frac{\theta}{2}+\angle f=90^{\circ} \
\therefore\angle k=\frac{\theta}{2} \
\
OC=\cos\theta \
AC=1-\cos\theta \
PC=\sin\theta
\end{align}
]

第二步

[
\begin{align}
在\Delta PBC之中, \quad \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \
\
在\Delta PAC之中, \quad \tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \
\
结果1: \enspace \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}
\end{align}
]

第三步

[
\begin{align}
在\Delta PBA之中, \quad \because \sin\frac{\theta}{2}=\frac{PA}{AB} \
\therefore PA=2\sin\frac{\theta}{2} \
\
在\Delta PAC之中, (2\sin\frac{\theta}{2})^{2}=(1-\cos\theta)^{2}+ \sin^{2}\theta \
\
2.1标: \enspace 4\sin^{2}\frac{\theta}{2}=1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \
根据公式1 \
2.2标: \enspace 4\sin^{2}\frac{\theta}{2}=2-2\cos\theta \
\
\sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{2(1-\cos \theta)}{4} \
\
\sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2} \
\
结果2: \enspace \sin \frac{\theta}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}
\end{align}
]

第四步

[
\begin{align}
DB=DP=\cos \frac{\theta}{2} \
\
PB=2\cos \frac{\theta}{2} \
\
在\Delta PBC之中, \quad (2\cos \frac{\theta}{2})^{2}=(1+\cos\theta)^{2}+\sin^{2} \theta \
\
4\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \
根据公式1 \
4\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1+2\cos\theta+1 \
\
\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{2+2\cos\theta}{4} \
\
\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2} \
\
结果3: \enspace \cos\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt[]{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{align}
]