复数的模、辐角与共轭复数

复数的模、辐角与共轭复数

复数的模、辐角与共轭复数

复数的模

复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b\mathrm{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$ 。

于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b\mathrm{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\stackrel{\to }{OZ}$ ，并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

共轭复数

当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为 共轭复数, 即：复数 $a+bi$ 与 $a-bi$ 叫做互为共轭复数.

一般地, 复数 $z=a+bi$ 的共轭复数表示为:

$\overline{z}=a-bi$

显然, 实数 $a$ (即虚部为零的复数) 的共轭复数仍是它自身 $a$ 。

我们已经知道, 实数集与数轴上的点之间可建立一一对应关系. 引进虚数,构成复数集之后，是否有相应的对应关系呢？

首先，虚数单位 $i$ 在实数轴上没有立足之地，它不属于实数集；其次，当 $b \neq 0$ 时, 复数 $a+bi$ 也不可能在实数轴上找出对应之点, 它仍不属于实数集,因此, 我们必须另找途径来建立对应关系。

从复数及其相等的定义中, 我们知道, 任何一个复数 $z=a+bi$, 都由一个有序实数对 $\left(a,b\right)$ 唯一确定，而每一个有序实数对，又借助平面的坐标化可以唯一确定平面上一个点, 因此, 只要在平面上建立起直角坐标系, 就可以用平面上的点 $Z\left(a,b\right)$ 表示出复数 $z=a+bi$。

这个建立了坐标系来表示复数的平面, 叫做 复平面 , 其中 $X$ 轴叫做实轴, $Y$ 轴（不含原点）叫做虚轴。

这样一来, 每一个复数, 在复平面内都有唯一一点和它对应, 反之, 复平面内的每一个点, 都有唯一的一个复数和它对应, 因此, 复数集 $\mathbb{C}$ 和复平面上的点集是一一对应的。 特别地, 实数集和复平面实轴上的点集一一对应; 纯虚数集合和复平面虚轴（不含原点）上的点集一一对应。

显然, 互为共轭的两个复数 $z=a+bi$ 与 $\overline{z}=a-bi$ 在复平面上对应的两点 $Z\left(a,b\right)$ 与 $\overline{Z}\left(a,-b\right)$ 关于实轴对称。

复数的模与幅角

我们已经知道, 复数集与复平面上的点集之间是一一对应的, 即每一复数 $z=a+bi\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$ 都对应着复平面上唯一一点 $Z\left(a,b\right)$, 反之亦然。

如果我们在复平面上连结原点 $O$ 与表示复数 $z=a+bi$ 的 $Z\left(a,b\right)$, 就得到一个向量 (从 $O$ 点指向 $Z$ 点), 记作 $\stackrel{\to }{OZ}$, 这样就可以在复数同向量 (从原点出发的向量) 之间建立起联系。 不难看出, 任一复数 $z$ 可唯一确定复平面上一点 $Z$, 进而唯一确定一个向量 $\stackrel{\to }{OZ}$; 反之, 复平面上任一向量 $\stackrel{\to }{OZ}$, 可唯一确定一点 $Z$, 进而唯一确定一个复数 $z$, 因此, 复数集 $\mathbb{C}$ 与复平面内所有以原点 $O$ 为起点的向量（位置向量）集合也是一一对应的。

这样一来, 我们就可以很方便地把复数 $z=a+bi\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$ 说成点 $Z\left(a,b\right)$,或说成向量 $\stackrel{\to }{OZ}$。研究复数的运算、性质就可以和研究向量的运算、性质互通了。

如图所示, 我们把向量 $\stackrel{\to }{OZ}$ 的模 $(OZ$ 的长度) $r$ 叫做复数 $z=a+bi$的模（或绝对值），记作

$r=|z|\text{或}r=|a+bi|$

显然

$r=|z|=|a+bi|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\ge 0$

特别地, 当 $b=0$ 时, $z$ 是一个实数, 这时

$r=|z|=|a|\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{(与实数的绝对值概念一致)}$

又以实轴 $OX$ 的正半轴为始边, 向量 $\stackrel{\to }{OZ}$ 所在的射线为终边的角 $\theta$, 叫做复数 $z=a+bi$ 的 幅角 。

由于任一不等于零的复数, 按以上规定可有无限多个幅角（终边相同的角）的值, 因而, 我们进一步约定:

满足 $0<\theta <2\pi$ 的幅角 $\theta$ 的值, 叫做 幅角的主值 , 并记作 $\mathrm{arg}z$, 即 $0\le \mathrm{arg}z<2\pi$。 因此, 任一非零复数 $z$ 的幅角 $\theta =\mathrm{arg}z+2k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

这样一来, 每一个不等于零的复数, 就只有唯一的模与唯一的幅角主值, 并可被它的模与幅角主值所唯一确定。

应该指出, 由于复数 $z=0$ 对应于复平面上的零向量 (一个点), 而且零向量的方向是任意的, 因此, 复数 $z=0$ 的模 $|z|=0$, 它的幅角却是任意的。

例1 试比较复数 ${z}{1}=1+\sqrt{2}i,{z}{2}=-\frac{1}{2}-i$ 的模的大小。

解:

$\begin{array}{rl}& \because |{z}{1}|=\sqrt{1+2}=\sqrt{3},\phantom{\rule{1em}{0ex}}|{z}{2}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{5},\phantom{\rule{1em}{0ex}}\sqrt{3}>\frac{1}{2}\sqrt{5}\ & \therefore |{z}{1}|>|{z}{2}|\end{array}$

一般来说, 两个复数中, 至少有一个不是实数, 就不能比较它们的大小, 但任意两个复数的模, 总是可以比较大小的。