电阻和电容/感并联的复阻抗怎么计算？

电阻和电容/感并联的复阻抗怎么计算？

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2301_80060871/article/details/142865151

在同频率时，我们常使用相量法来化简计算。
于是我们也给出相量的写法

一、电阻和电容

电阻 (R) 和电容 (C) 的阻抗并联计算涉及到电路的复数表示。在交流电路中，电阻的阻抗就是其电阻值，而电容的阻抗是一个负的虚数，公式如下：

1. 电阻的阻抗 ( Z_R )：
   $$
   Z_R = R
   $$
2. 电容的阻抗 ( Z_C )：
   $$
   Z_C = -\frac{1}{j \omega C}
   $$
   其中，( j ) 是虚数单位，( \omega ) 是角频率（( \omega = 2\pi f )，( f ) 是频率），( C ) 是电容值。
   对于并联电路，总阻抗 ( Z_{\text{total}} ) 可以通过以下公式计算：
   $$
   \frac{1}{Z_{\text{total}}} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_C}
   $$
   将 ( Z_R ) 和 ( Z_C ) 代入公式，得到：
   $$
   \frac{1}{Z_{\text{total}}} = \frac{1}{R} - j \omega C
   $$
   为了得到 ( Z_{\text{total}} )，取倒数：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{1}{\frac{1}{R} - j \omega C}
   $$
   进一步分解为实部和虚部：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{R}{1 - j \omega R C}
   $$
   为了将其转换为标准复数形式 ( a + jb )，分母乘以其共轭：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{R(1 + j \omega RC)}{1 + (\omega RC)^2}
   $$
   这样，实部 ( a ) 和虚部 ( b ) 分别是：
   $$
   a = \frac{R}{1 + (\omega RC)^2}
   $$
   $$
   b = \frac{R \omega C}{1 + (\omega RC)^2}
   $$
   所以，总阻抗 ( Z_{\text{total}} ) 为：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{R}{1 + (\omega RC)^2} + j \frac{R \omega C}{1 + (\omega RC)^2}
   $$

相量写法

1. 电阻的阻抗 ( Z_R )：
   $$
   Z_R = R \angle 0^\circ
   $$
2. 电容的阻抗 ( Z_C )：
   $$
   Z_C = \frac{1}{\omega C} \angle -90^\circ
   $$
   总阻抗 ( Z_{\text{total}} ) 为：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{R(1 - j \omega RC)}{R^2 + (\omega C)^2}
   $$
   实部和虚部分别是：
   $$
   a = \frac{R \omega^2 C^2 - 1}{R^2 \omega^2 C^2 + 1}
   $$
   $$
   b = \frac{-\omega RC}{R^2 \omega^2 C^2 + 1}
   $$
   相位角 ( \theta ) 是：
   $$
   \theta = -\arctan(\omega RC)
   $$
   因此，总阻抗为：
   $$
   Z_{\text{total}} = \frac{R \omega^2 C^2 - 1}{R^2 \omega^2 C^2 + 1} \angle -\arctan(\omega RC)
   $$

二、电阻和电感并联

1. 电阻的阻抗 ( Z_R )：
   $$ Z_R = R $$
2. 电感的阻抗 ( Z_L )：
   $$ Z_L = j \omega L $$
   其中 ( j ) 是虚数单位，( \omega ) 是角频率（( \omega = 2\pi f )，( f ) 是频率），( L ) 是电感值。
   对于并联电路，总阻抗 ( Z_{total} ) 可以通过以下公式计算：
   $$ \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L} $$
   将 ( Z_R ) 和 ( Z_L ) 的表达式代入上述公式，得到：
   $$ \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} $$
   为了得到 ( Z_{total} )，取倒数：
   $$ Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} $$
   这可以进一步分解为实部和虚部：
   $$ Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \times \frac{\frac{1}{R} - \frac{1}{j \omega L}}{\frac{1}{R} - \frac{1}{j \omega L}} $$
   $$ Z_{total} = \frac{\frac{1}{R} - \frac{1}{j \omega L}}{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\frac{1}{\omega L}\right)^2} $$
   $$ Z_{total} = \frac{R - j \frac{R}{\omega L}}{R^2 + \left(\frac{1}{\omega L}\right)^2} $$
   $$ Z_{total} = \frac{R^2 \omega^2 L^2 - j R}{R^2 \omega^2 L^2 + 1} $$
   这样，总阻抗 ( Z_{total} ) 是：
   $$ Z_{total} = \frac{R^2 \omega^2 L^2 - j R}{R^2 \omega^2 L^2 + 1} $$
   实部代表电阻性部分，虚部代表电感性部分。

相量写法

1. 电阻的阻抗 ( Z_R )：
   $$ Z_R = R \angle 0^\circ $$
2. 电感的阻抗 ( Z_L )：
   $$ Z_L = j \omega L \angle 90^\circ $$
   其中 ( j ) 是虚数单位，( \omega ) 是角频率（( \omega = 2\pi f )，( f ) 是频率），( L ) 是电感值。
   对于并联电路，总阻抗 ( Z_{total} ) 可以通过以下公式计算：
   $$ \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L} $$
   将 ( Z_R ) 和 ( Z_L ) 的表达式代入上述公式，得到：
   $$ \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} $$
   为了得到 ( Z_{total} )，取倒数：
   $$ Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} $$
   这可以进一步分解为实部和虚部：
   $$ Z_{total} = \frac{R \omega L + j}{R^2 \omega^2 L^2 + 1} $$
   这样，总阻抗 ( Z_{total} ) 可以表示为：
   $$ Z_{total} = \frac{R \omega L}{R^2 \omega^2 L^2 + 1} + j \frac{1}{R \omega L} \angle \arctan\left(\frac{1}{\omega L R}\right) $$
   最后，来一道例题上上手吧