二阶常系数微分方程解的结构

二阶常系数微分方程解的结构

二阶常系数微分方程是数学中一个重要的研究领域，广泛应用于物理学、工程学等多个学科。本文将详细介绍二阶常系数微分方程解的结构，包括齐次和非齐次方程的解法，并通过定理证明和实例说明，帮助读者深入理解这一重要数学概念。

二阶线性微分方程的一般形式是

其中P(x)，Q(x)及f(x)是自变量x的已知函数，函数f(x)称为方程（6-20）的自由项.当f(x)=0时，方程（6-20）变为

这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（6-20）称为二阶非齐次线性微分方程.对于二阶齐次线性微分方程，有下述两个定理.

定理1

如果函数y1(x)与y2(x)是方程（6-21）的两个解，则

也是方程（6-21）的解，其中C1，C2是任意常数.

证明

将式（6-22）代入方程（6-21）的左端，有

所以式（6-22）是方程（6-21）的解.

齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.式（6-22）虽然是方程的解，而且含有两个任意常数C1与C2，但它却不一定是方程的通解，这是因为假设y1(x)=5y2(x)，则y=(5C1+C2)y2(x)也是方程的解，但它却不是通解，那么在什么情况下式（6-22）才是方程（6-21）的通解呢？为了解决这个问题，引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念.

定义

设y1(x)，y2(x),…，yn(x)是定义在区间I上的n个函数.如果存在n个不全为零的常数k1，k2，…，kn,使得当x∈I时恒有

则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关.根据定义可知，在区间I上两个函数是否线性相关，只要看它们的比是否为常数.如果比为常数，则它们线性相关，否则线性无关.

例如，函数y1(x)=sin2x，y2(x)=6sinxcosx是两个线性相关的函数，因为

而y1(x)=e4x，y2(x)=ex是两个线性无关的函数，因为

有了函数线性无关的概念后，有下面的定理.

定理2

如果y1(x)与y2(x)是方程（6-21）的两个线性无关的特解，则

就是方程（6-21）的通解，其中C1，C2是任意常数.

证明

由定理1知，y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程（6-21）的解，因为y1(x)与y2(x)线性无关，所以其中两个任意常数C1与C2不能合并，即它们是相互独立的，所以y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程（6-21）的通解.

例如，对于方程y″－5y′+6y=0，容易验证y1=e2x与y2=e3x是它的两个特解，又

所以y=C1e2x+C2e3x就是该方程的通解.

由一阶线性微分方程的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应齐次线性微分方程的通解与一个非齐次线性微分方程的特解的和.实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶甚至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构.

定理3

设y*是方程（6-20）的一个特解，而Y是其对应的齐次方程（6-21）的通解，则

就是二阶非齐次线性微分方程（6-20）的通解.

证明

把式（6-23）代入方程（6-20）的左端，得

即y=Y+y是方程（6-20）的解.由于对应齐次方程的通解Y=C1y1(x)+C2y2(x)含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以y=Y+y是方程（6-20）的通解.

例如，方程y″－5y′+6y=6x是二阶非齐次线性微分方程，已知其对应的齐次方程y″－5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x.又容易验证y=x+5/6是该非齐次线性微分方程的一个特解，故

是所给非齐次线性微分方程的通解.

定理4(解的叠加原理）

设y1与y2分别是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)与y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)的特解，则y1+y2是方程

的特解.