三角形的五心：内心、外心、重心、垂心和傍心的性质与证明

三角形的五心：内心、外心、重心、垂心和傍心的性质与证明

三角形的五心（内心、外心、重心、垂心、傍心）是高中数学几何中的重要概念。本文将详细介绍这五个点的定义、性质及其证明，帮助读者全面理解三角形五心的相关知识。

三角形的五心

三角形的五心是指“重心”、“内心”、“外心”、“垂心”和“傍心”这五个点。每个点都有其独特的定义和性质。

五心的定义

• 重心：三角形各顶点到对边中点连线的交点

• 性质：

• 将中线分为2:1的比例

• 形成的6个小三角形面积相等

• 内心：三角形内角平分线的交点

• 性质：

• 是内切圆的圆心

• 到各边的距离相等

• 外心：三角形各边垂直平分线的交点

• 性质：

• 是外接圆的圆心

• 到各顶点的距离相等

• 垂心：三角形各顶点到对边垂线的交点

• 傍心：三角形一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点

这五个点都可以通过圆规和直尺进行作图。

重心

重心是三角形中一个重要的点，通常用字母G表示，源自英文“center of Gravity”。

定义

三角形各顶点到对边中点连线的交点。

性质

1. 连接顶点和重心的线段会将对边二等分
2. 中线被重心分为2:1的比例

内心

内心是三角形内切圆的圆心，与三角形的角平分线密切相关。

定义

三角形内角平分线的交点。

性质

1. 角平分线的交点
2. 到各边的距离相等
3. 是内切圆的圆心

外心

外心是三角形外接圆的圆心，与三角形的边垂直平分线相关。

定义

三角形各边垂直平分线的交点。

性质

1. 垂直平分线的交点
2. 到各顶点的距离相等
3. 是外接圆的圆心

垂心

垂心是三角形各顶点到对边垂线的交点。

定义

各顶点到对边垂线的交点。

性质

1. 形成的四边形ADHF、BEHD、CFHE都是圆内接四边形
2. (AH=2RcosA)，其中R是外接圆半径

傍心

傍心是三角形一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点，相对而言较为少见。

定义

角的二等分线与两个外角的二等分线的交点。

性质

设三角形ABC的面积为S，半周长为(s=\frac{a+b+c}{2})，则有：
[S=\frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)]

虽然五心的全部性质都值得掌握，但内心、重心和外心尤为重要，建议优先记忆。

图形学习建议

1. 复习教科书和笔记
2. 通过问题集提升应用能力
3. 观看清晰的讲解视频

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总结

三角形的五心是几何学中的重要概念，每个心都有其独特的性质和应用。理解这些性质对于解决几何问题至关重要。希望本文能帮助读者全面掌握三角形五心的相关知识。