简明理解：可导与可微，微商（导数）和微分

简明理解：可导与可微，微商（导数）和微分

引用

CSDN

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AI 时代学什么，怎么学 / 2024.12

怀疑一切和相信一切是两种同等方便的办法，因为两者都无须思考。

——亨利·庞加莱（1854—1912）

在微积分中，可导与可微，微商（导数）和微分这些概念是相互关联的，它们共同构成了对函数局部行为分析的基础工具。在实际应用中，导数和微分是研究函数变化和物理过程变化的关键工具。

1. 可导（Differentiability）：

• 定义 ：如果一个函数在某一点的邻域内，其函数值的变化可以近似地用切线斜率（即导数）来表示，那么这个函数在该点可导。

• 几何含义 ：在函数的图形上，可导意味着在该点存在一个切线，且切线与曲线在该点的接触是“平滑”的，没有尖点或间断。

• 物理含义 ：在物理上，可导性表明一个物理量可以连续地变化，没有突变或间断。

可微（Differentiability）：

• 定义 ：可微与可导实际上是同一个概念，都指的是函数在某一点的邻域内可以找到一个线性近似，即微分。

• 几何含义 ：可微的几何意义与可导相同，指的是函数图形在该点附近可以局部地用切线来近似。

• 物理含义 ：可微性在物理上表示物理量可以在某点附近用一个线性关系来近似，这对于微小变化的分析非常重要。

微商（Differential Coefficient）：

• 定义 ：微商通常指的是导数，它是函数在某一点的切线斜率，表示函数值关于自变量的瞬时变化率。

• 几何含义 ：在几何上，微商是切线的斜率，它告诉我们曲线在该点的倾斜程度。

• 物理含义 ：在物理上，微商可以表示速度、加速度、力等物理量的瞬时变化率。

微分（Differential）：

• 定义 ：微分是函数在某一点处的局部线性近似，它表示函数值变化量与自变量变化量之间的线性关系。

• 几何含义 ：在几何上，微分是切线段的长度，它近似表示曲线在该点附近的变化量。

• 物理含义 ：在物理上，微分可以用来近似表示物理量的微小变化，例如在微小时间间隔内的位移变化。联系：

在一元函数中，可导和可微是等价的，它们都意味着函数在某一点附近可以找到一个良好的线性近似（即微分）。

微商（导数）是微分的一个特例，是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

最简单的一元情况下，导数是一个确定的数值，几何意义是切线斜率，物理意义是瞬时速度。

微分是微商（导数）的推广，是一个函数表达式，用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。它可以用来近似任何自变量变化量下的函数值变化量。

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