那些多边形面积公式之间的秘密

那些多边形面积公式之间的秘密

多边形面积公式之间的联系是什么？通过整个单元的学习，可以帮助学生建构多边形面积推导的知识网络，建立平行四边形、三角形、梯形和长方形面积之间相互转化的内在联系，渗透转化的数学思想方法。

最近学习完了多边形的面积。那这些多边形面积公式之间有什么联系呢？通过整个单元的学习帮助学生建构多边形面积推导的知识网络，建立平行四边形、三角形、梯形和长方形面积之间相互转化的内在联系，渗透转化的数学思想方法。
学生能够从长方形、正方形的面积开始思考，根据书本的顺序，依次推导出平行四边形、三角形和梯形的面积公式。
可见，平行四边形转化为长方形，梯形和三角形都可以转化为平行四边形。可见，平行四边形起到了承上启下的作用，这里学生对转化的策略有了更深的理解。
由于在推导三角形和梯形面积计算公式时，学生想到了其它的转化策略，所以他们在思考图形联系的时候，有了更多的网络关系图。

学生们认为梯形也可以分割转化成三角形进行推导。所以，也有上面的关系图。
由于三角形和梯形还可以转化为长方形，所以有的同学会给出这样的关系图。
这里，三角形和梯形都可以用“出入相补”原理进行转化为长方形。
可见，学生能够利用公式推导过程中转化前后图形之间的联系，将这些图形串联在一起。
当然，还有同学认为上面的图形都可以分割成三角形，所以也可以从三角形为基础进行推导。可见，不同的人对于面积公式的知识结构不完全相同，这里当然不需要一致。只要能够“言之有理”，将这些图形联系在一起就可以了。
在此基础上，还要引导学生关注多变形面积计算的本质，回归到面积度量的本质，依然是计量面积单位的数量。不管哪个图形，其实就可以用“每行面积的个数×行数。”
除了发现其本质，还可以从图形间的变化这个角度来看看它们之间的联系。此时，就可以从梯形开始出发，去发现梯形面积公式与其它图形面积公式的变化关系。
通过多媒体的动态演示，如果梯形的上底缩短为零，就变成了三角形；如果梯形的上底和下底等长就变成了平行四边形；当梯形的四个角都是直角，就变成了长方形等。
可见，梯形的面积公式也很神奇，以它为中心，也可以把这些图形串联在一起。
梯形的面积公式S=（a+b)h÷2。当上底和下底相同的时候，S=（a+a)h÷2=ah；当上底为0的时候，S=（0+b)h÷2=bh÷2；当上底、下底和腰都相等时，S=（a+a)a÷2=aa。
学生发现梯形的面积公式还真的很神奇，其它图形面积公式都可以看为“特殊情况的梯形面积公式”。
回顾梳理屏幕图形面积学习的过程，如果按照“长、正、平行四边形，三教学、梯形”的顺序，是由特殊走向一般，是一条“推导之路”。而用梯形面积计算公式来计算其它图形的面积，则是其“应用之路”。
如果把这个公式再变形一下，梯形中位线的长度其实就是上下底之和的一半，进而体会这些图形的面积都可以通过“中位线×高“来计算。
之所以梯形的面积公式可以解决其它四边形的面积，是相对于其它几个四边形来说，梯形更为一般。可见，这里以梯形面积公式为中心的思路，又是一次从“一般”到“特殊”的过程。
当然，梯形面积公式还有一些特殊的妙用。
这里钢管堆成的图形如梯形，就可以用下面的方法来求总根数：
钢管的总根数=（顶层根数+底层根数）×层数÷2
从计算的角度，首尾相加，都是35，一共有6÷2=3组。
15+16+17+18+19+20
=（15+20）×（6÷2）
可见，这里课堂补充了高斯的数学故事的解法，简单介绍这样的数列叫做等差数列，其求和公式是（首项+尾项）×项数÷2。
通过对比，发现它们的联系。学生也把梯形面积公式堪成“万能公式”，有了它可以解决很多问题。
在练习环节，也可引入等第等高的平行四边形、三角形和梯形，引导发现面积计算的共同之处，即都可以归结为梯形面积计算方法，在多维对比中拓宽思维的广度。
可见，可以从不同角度去构建平面图形之间的内在联系，构建知识网络，感受转化思想在数学中的应用，逐步明晰图形面积的本质。