微积分：如何理解方向导数与梯度？

微积分：如何理解方向导数与梯度？

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_29575471/article/details/107991865

方向导数与梯度是多元函数微分学中的重要概念，它们描述了函数在不同方向上的变化率。本文将从方向导数的实质出发，通过平面C与曲面S的交线在某点的导数来解释方向导数的几何意义，并详细讨论方向导数的计算公式。

前言

在多元函数微分学中，方向导数是一个核心概念。它描述了函数在某一点沿特定方向的变化率。本文将以二元函数为例，介绍方向导数和梯度的概念及其计算方法。

方向导数

方向导数的实质是：自变量沿着xoy平面上的某个方向变化时，函数f的变化率（一元函数微分）。

具体来说，曲面S沿着向量u = (a, b)方向在点(x0, y0, z0)的方向导数，可以这样理解：作一平面C，C垂直于平面xoy且经过方向向量u所在的直线。C与S的交线（曲线）在点(x0, y0, z0)的导数（一元函数微分）。

需要注意的是，此处的向量u是xoy平面上的单位向量，用于指示自变量的变化方向。由于u是单位向量，故必然存在θ，使得：

cosθ = a, sinθ = b

其中，θ就是向量u和x轴的夹角。

例如，我们熟知的两个偏导数，分别是沿着x轴和y轴的方向导数，即上图中的平面C应当垂直于xoy平面，且经过x轴（y轴）。

根据一元函数微分的讨论可知，该方向导数应当是：

$$
D_u f |{(x_0, y_0, z_0)} = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}
$$