微积分数学之六个不定积分计算步骤
微积分数学之六个不定积分计算步骤
不定积分是微积分学中的一个重要概念，它与定积分相对，是求导运算的逆运算。掌握不定积分的计算方法对于学习高等数学和解决实际问题具有重要意义。本文将通过六个具体的不定积分计算问题，展示不同的解题思路和技巧。
1. 计算∫(36x-4)dx/(18x²-4x+23)
解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(18x²-4x+23)'=36x-4，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式∫dx/x=lnx+c来变形计算。
∫(36x-4)dx/(18x²-4x+23)
=∫d(18x²-4x)/(18x²-4x+23),
=∫d(18x²-4x+23)/(18x²-4x+23),
=ln|18x²-4x+23|+C。
2. 计算∫(9x²-33)²dx
解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：
∫(9x²-33)²dx
=∫(9²x⁴-594x²+33²)dx,
=∫9²x⁴dx-∫594x²dx+∫33²dx,
=1/5*9²x⁵-1/3*594x³+33²x+C.
思路二：通过分部积分进行计算，有：
∫(9x²-33)²dx
=(9x²-33)²x-∫xd(9x²-33)²，
=(9x²-33)²x-4*9∫x²(9x²-33)dx，
=(9x²-33)²x-4*9∫(9x⁴-33x²)dx，
=(9x²-33)²x-(4/5)*9²x⁵+2/3*594x³+C。
3. 积分∫dx/(x²-28x+361)的计算
解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=28²-4*361<0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C变形计算即可，有：
∫dx/(x²-28x+361)
=∫dx/(x²-28x+196+165),
=∫dx/[(x-14)²+165],
=(1/165)∫dx/[1+(x-14)²/165],
=(1/165)∫d(x/√165)/[1+(x-14)²/165],
=(1/√165)arctan[(x-14)/√165]+C。
4. 计算∫(47/6x+48x/43)²dx
解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：
∫(47/6x+48x/43)²dx
=∫[(47/6x)²+2*47/6*48/43+(48x/43)²]dx,
=(47/6)²∫dx/x²+752/43∫dx+(48/43)²∫x²dx,
=-(47/6)²/x+752x/43+1/3*(48/43)²x³+C。
5. 计算∫(14x³-9x²+41)61(42x²-18x)dx不定积分计算
解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(14x³-9x²+41)'=42x²-18x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：
∫(14x³-9x²+41)61(42x²-18x)dx
=∫(14x³-9x²+41)61d(14x³-9x²+41),
=(1/62)*(14x³-9x²+41)62+C.
6. 计算∫xln(51x-84)dx
解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：
∫xln(51x-84)dx
=(1/2)∫ln(51x-84)dx²，
=(1/2)x²ln(51x-84)-(1/2)∫x²dln(51x-84),
=(1/2)x²ln(51x-84)-(51/2)∫x²dx/(51x-84),
=(1/2)x²ln(51x-84)-∫(x+84/51)dx-(84/51)²∫d(51x-84)/(51x-84)
=(1/2)x²ln(51x-84)-(1/2)x²-84x/51-(84/51)²*ln(51x-84)+C。