伯努利方程及其应用

伯努利方程及其应用

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/Bwen_F/article/details/144335127

伯努利方程是流体力学中的一个基本方程，描述了理想流体在定常流动中能量守恒的规律。本文将从伯努利方程的推导开始，介绍其不同形式及其物理意义，并通过工程应用实例进行说明。

伯努利方程

1.1 伯努利方程推导

由动量方程（流体的表面力加质量力即为流体的动量变化量）：

F_fz + F_sz = q_m(v_2z - v_1z)

在理想定常流动中取一微元流管，如下图所示：

对z方向列动量方程：

pA - (p + dp)(A + dA) + (p + 0.5p)dA - 1/2ρg(2A + dA)dz = ρvA(v + dv - v)

略去高阶小项：

ρvdv + ρgdz + dp = 0

即：

dp = -ρvdv - ρgdz

适用条件：重力场、理想、定常、沿同一流线。

1.2 伯努利方程不同形式

广义伯努利方程：

v²/2 + gz + ∫dp/ρ = C

对于不可压流体：

ρ = C
v²/2 + gz + p/ρ = C
v²/2g + z + p/ρg = H

适用条件：重力场、理想、定常、沿同一流线。

1.3 伯努利方程的意义

• 物理意义：

在适用条件下，流体的动能、位势能和压强势能可以相互转变，三者之和保持不变。

v²/2 + gz + p/ρ = C
v²/2:单位质量流体的动能。
gz：位势能。
p/ρ：压强势能(流体因压强而具有做功的能力)。
C：机械能。

• 几何意义：

速度水头+位置水头+压强水头=总水头。
总水头线为一平行于基准线的水平线。
水头：单位质量流体具有的能量。

v²/2g + z + p/ρg = H
v²/2g:速度水头。
z:位置水头。
p/ρg：压强水头。
H：总水头。

工程应用

• 皮托管测流速

已知有如下弯管：

已知：

v_A = 0（A：驻点）
滞止压强：p_A = p_a + ρg(H₀ + h)
B点：p_B = p_a + ρgH₀

对A、B两点列伯努利方程：

v_B²/2g + z_B + p_B/ρg = v_A²/2g + z_A + p_A/ρg

即：

ρv_B²/2g + p_B = p_A

v_B为：

v_B = √(2(p_A - p_B)/ρ) = √(2gh)

将p_a和p_b作为总压和静压，可得：

p₀ = p + 1/2ρv²
p₀:总压。
p:静压。
1/2ρv²:动压。

可获得转速为：

v = √(2(p₀ - p)/ρ)

可得皮托-静压管：