数学逻辑的巅峰—哥德尔不完备定理，挑战了我们对理性推理的信心

数学逻辑的巅峰—哥德尔不完备定理，挑战了我们对理性推理的信心

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哥德尔不完备定理是20世纪最重要的数学发现之一，它揭示了数学推理的内在局限性，对逻辑学、数学乃至哲学都产生了深远影响。本文将带你了解这位杰出的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔的学术成就，以及他的不完备定理如何挑战了我们对理性推理的信心。

库尔特·哥德尔（Kurt Gödel），这位杰出的奥地利数学家和逻辑学家，是20世纪最重要的学者之一。在第二次世界大战前，他移居美国，并在普林斯顿的高级研究院工作，成为爱因斯坦以及其他著名科学家的同事。哥德尔的学术成就特别体现在他的两大不完全性定理上，这两条定理揭示了数学推理的内在局限性，表明某些数学命题无法在给定系统内证明或推翻。爱因斯坦曾言，自己来到普林斯顿的唯一原因，就是为了晚上能和哥德尔一起走回家，显然，爱因斯坦认为哥德尔的智慧远胜自己。

数学的研究方式是什么？物理学建立在数学的基础上，化学又依赖物理学，生物学则建立在化学的基础上。那么，数学又是建立在什么基础上的呢？数学是建立在公理之上的。每个数学领域都可以看作是一个形式系统，而这个系统的核心是公理体系，也称公设。公设是被认为理所当然的陈述，通常无需证明。

最早的形式系统之一是欧几里得几何，它大约在2200年前由欧几里得在其著名的《几何原本》一书中提出，这一学科至今仍是学校里常见的内容。欧几里得几何研究的是平面几何，平面指的是像桌面一样向所有方向无限延伸的完美表面。在这个几何学科中，研究的对象包括线条、三角形、圆等图形。