深度解析：极值点偏移——级数与构造

深度解析：极值点偏移——级数与构造

极值点偏移是数学分析中的一个重要概念，特别是在处理函数的零点和极值问题时。本文将深入探讨极值点偏移的函数构造方法，通过详细的理论分析和具体例题，帮助读者掌握这一重要工具。

极值点偏移中的函数构造

极值点偏移的函数构造方法是一种普适性强的解决方案，最早在知乎上发布。这种方法通过构造特定的函数来解决极值点偏移问题，具有广泛的应用前景。

问题引入

考虑函数具有两个零点，证明：

这是最经典的极值点偏移问题。在这里，我们将依据分析的思路去展开，给出一种充分运用问题对称性的解决方式。

为了简化讨论，我们将问题重新表述为：

函数 若且证明

名词解释：极值点偏移

极值点“偏移”，极值点这一名词的解释很简单，该函数的极值点是，右侧的实际上就是两倍的极值点。

所谓“偏移”必然是有比较对象的，我们需要知道偏移的比较对象：函数在极值点处的二次拟合。

函数考虑运用泰勒公式，将函数在极值点附近展开，得到的拟合函数就是

将两个函数的图像画出来，比较两个函数的大小关系，会发生什么呢？

从几何直观看，我们不难发现，在的左侧，函数比函数大，在的右侧，函数比小。

若作直线与两个函数的图像从左往右依次交于四点

则就是我们在一开始时表述的而就是与二次函数的两个交点。

因为分别比都要大，理所当然的，我们得到：

图像的解释可能会很直观，但这里提醒大家：不要轻易说极值点偏移的本质是……

严格证明：手法的分歧

在这里，我们就不去说明例如这种显而易见的结论了。我们接着把上面的图像结论给严格化。

分歧1：级数反演

在上面的问题中，我们不难算出

如果我们证明了以及当然就证明了

考虑后一个表达式，由函数的单调性，我们相当于证明

由于我们等价于证明

如果作一合适的换元 则原式等价为

这就是泰勒展开的余项，直接求导即可证明其正确性。

另一边的估计也可以由该方法给出，因而原题成立。

在这里，我们的方式是用的表达式估计如果继续这一条路，将会走到级数反演的思路上。

因级数反演不是本文的重点，我们略过这一内容。

分歧2：函数构造

在前面化简的时候，我们事实上会发现， 所要证明的以及会归约到同一不等式的，区别仅仅在符号的不同。

如果我们更进一步考察证明的，将会发现一些更简单的表述：

在上面，我们利用的单调性转化了如果考虑用的单调性，就变成了

也就是

考虑因此问题转化为

同理可得另一侧相当于

也就是说，我们事实上可以用函数来解决该问题。

到这里，我们的思路是：

运用函数证明从而证明

接下来给出更加简洁凝练的表述：

最终证明：简化与表答

考虑

由于也即单调递减。

故因为

由于且代入上式整理得

这也就是

也就得到

我们可以看到，最终证明的时候，不需要用和之类的表述，只需要把差函数构造出来，就可以了。

构造的另一解释

在这里我们将函数与做差最终证明了这一结果，我们事实上也可以根据结论倒推出所需的函数。

考虑等价于也就是

构造也能最终解决该问题。

在这里，我们实际上看到了，题目要证明的条件与是可以相互推导的等价条件。

推广：问题的重写和一般化

现在，为了便于进行更一般化的探讨，我们来用一套严谨一些的数学语言来阐述极值点偏移：

严格化的定义

对于定义在圆盘上的解析函数若其在区间上是实函数，且具有相同的极值点和相同的极值，且区间上

的符号与相同或相反（或者说不变号），则称具有极值点偏移效应。

这里需要说明的是，极值点偏移只是一个约定俗称的叫法，这里如此定义也只是为了讨论的方便（比如要求解析函数），如果有什么更合适的定义欢迎补充。

极值点偏移的一般推广

在这样的一个观点下，我们将问题归纳为下面的问题形式：

已知求证

这样，我们就完成了极值点偏移的初步推广。

现在，你已经掌握极值点偏移了，快来小试牛刀吧！

实数满足证明

在本文的前面部分，实际上已经给了足够的提示信息以解决该问题。作为该方法的提出者，我也希望后来人能尝试从前面的引导中自行尝试推广。

偏移函数的构造

将问题作初步推广之后，来考虑所谓偏移函数的构造方式：

在上面我们可以看到，为了证明我们将问题转化为了证明但实际上构造的函数却不是直接相减，这是因为我们观察到了原函数的二次拟合系数。

更一般化的，想证明所谓偏移函数一定是二次函数么？

显然答案是否定的。为了讨论的方便，这里我们不妨平移原函数使极值点为则我们要证明的表达式简写成

具有性质极值点是，能够通过推出的函数有哪些？不难发现这些函数一定是偶函数，在偶函数类里，这样的函数不胜数，这里列出几个：

所有的偶次幂函数，

等，

这里甚至这样的函数并非是整个区间上解析的，这也意味着我们还能在非解析函数的范畴内拓展这个方法。甚至于是拐点偏移、更一般的“偏移”，都有着这样的推广。

我们先着眼于最基本的情况：

我们假设均是解析的，要构造具有性质的函数无非就是构造偶函数，在解析的条件下，我们可以完全等价为作级数展开。

这时候函数

考虑到在极值点附近应该变号，否则不具有偏移效应，因此辅助函数不以为极值点。

这也就等价于：的泰勒展开式中，系数不为次数最低的项必须是奇数。

这可以使用极值判定的定理理解，或者更简单一点，最低次数项是偶数的函数例如在附近的行为由决定， 别的项是高阶无穷小可以忽略，那么就在附近为极值，反之最低次数项是奇数的在附近则一定变号。

在上述例子中，平移函数后相当于给出证明

我们通过函数的解析性质，至少在邻域上将其转化为了构造使其展开式是最低次数项是级数。

很幸运的是取就可以了，的项已经不是，至少符合非极值性。 后面我们看到，这个函数甚至具有良好的单调性。

更一般性的构造方式，由以下方式给出：

若构造其中是具有一定性质的二元函数。

一般来说，我们希望构造的对单调，对单调。

这样就有

这里的构造方式包含了简单的加减乘除以及一些复合函数等，具体的构造方式应当具体分析。

实用构造：复合多项式级数

这时候我们来看更难一些的例子，并计算。

这里先给出一个比较常用的偏移函数构造方法：

若要证明可以考虑构造以利用辅助函数证明其中是多项式，构造方法依泰勒级数展开逐步消解的偶数次项给出。

有时也可以考虑构造但此时构造的多项式最好在值域内单调。

我们不难证明，在解析的条件下，只要原命题成立，局部的结果一定可以由多项式构造给出，这也是绝大部分时候不会使用其他构造方法的原因，因为大部分问题里实际上复合多项式级数就足够了。

例1若有两个零点证明

解答

对于不等式的左端：

首先还是先作命题转化：

考虑事实上等价于

又考虑到，所以上述命题事实上就是

也就等价到取得

由于是任意的，条件有两个零点相当于给出

考虑

而

直接相减的函数就符合局部条件。

而辅助函数单调递增，符合要求。

对于不等式的右端：

同理转化为：

这里将平移使得极值为读者可以进一步思考原因。

仍然可以展开

不幸的是，线性构造不具有所需要的性质。

进一步尝试消去四次项，得到已符合局部性质。

求导得

后面正是熟知的帕德逼近，我们有问题得以解决。

这种展开方式有一种理解方式：由参数方程给出的关系可以视为隐函数

上面的正是该隐函数的局部泰勒公式结果。

构造：命题转化

在上述构造中，我们将转化为了

这一步是命题转化的关键。

事实上我们有一些常用的转化手法：

实际上上述的替换为也无不可，给出的构造方式是一样的。近几年高考中最典型的用到该转化方法的莫过于2022浙江卷。

当然，更进一步的，将等价为等都是可以的，

甚至可以转化为

你的想象力有多丰富，构造方式就有多么多种多样。

对称构造的再解释

在变量可分离时，证明极值点偏移的另一个经典手段是对称构造，但接下来我们将很容易看到，对称构造是该法的一个特例。

考虑经典极值点偏移要证明

根据函数的单调性，我们很容易将命题转化为

在上面提到过，我们可以构造这样的函数以证明

如果我们运用相同的构造方式，考虑这个函数，显然该函数关于对称，且由单调性自然有先减后增，

此时我们构造的函数就可以是恰为对称构造的函数。

对称构造法恰恰研究的就是和之间的偏移关系。

也就是说，对称构造是该构造法的一个特例，该法可以视作对称构造法的一个推广。

虽然对称构造此法的动机有其他理解方式，但在这里，将对称构造解释为特殊的偏移函数，揭示了两种方法的统一性，一切就显得自然了起来。

构造：典型结论

若且证明以下结论时的可行的构造函数：

：

构造（或其平移拉伸等，下面省略）。

：

构造

这里同上文：

构造

为了便于计算，这里可以平移后分离对数，得到

：

构造

：

.。

要证明的条件转化为给出的

为了便于计算，平移拉伸变换为

这里给出一个比较合适的构造是

求导得

这里没有选择前一种形式也是有一定理由的，主要原因是的极限特性。 如果选择前一种形式只会局部单调，虽然不是不可行但会更加麻烦。

由于变量分离后形式简单，所以这个问题使用对称构造的计算量也不大。

更多的例子就留给读者去探索了，我仅列出一些基本结论的构造。

构造：含参函数

有的人会说函数含参的时候（或者别的xxx时候）就做不了，这里我强调一下，能不能做实际上更多取决于你的分析水平以及构造的水准，而不是问题的形式，最多只是构造方法可能显得没有那么好用。

例如2016全国一卷：

例2有两个零点.

求的取值范围

证明

第一小题的答案是

这道题就是典型的含参形式，但是构造就可以了，丝毫没有障碍。

这里消参令就有顺着这个思路也是可以构造的，不过这时候就不是所谓极值点偏移（或者说此时极值为无穷大），但我们之后会提出更一般的框架。

再来看一个经典的例子：

例3有两个零点，证明

为了讨论方便，我们作变量替换为形式更简单的样子：

令则转化为有两个零点，证明

或者更进一步写为：有两个零点，证明

到这里就可以给出转化后的命题：

有且，证明

理所当然的，在一开始的形式中进行一些变形也可以得到标准的形式，变量替换不是必须的，这里仅是为了形式上的简化。

计算不难得到具有偏移效应的两个函数是和

构造自然是可行的，但求导讨论多有不便。

我们需要的偏移效应实质上只关心符号，因此取会是一个更加明智的选择。

这实质上就是帕德逼近，也可以变量替换化为更熟悉的形式

构造小技巧：符号和单调

同上所述，我们一般希望构造的函数尽可能直接具有良好的单调性，这就便于我们进行后续讨论。

另一方面，由于构造出偏移函数后，我们关心的仅仅是的正负，而标准偏移函数是满足与同号的。

因此，我们任意乘上一个不变号的因子均能达成效果，这也正是我们上面的例子中选取了的原因。

通过这样的方法，就可以将具有偏移效应但差函数不具有良好单调性、不易讨论单调性的情形转化为具有良好单调性的情形。

这里给一个以前写过的知乎野题的例子：

例4证明：

作变量替换并不妨设

原不等式等价为

其中

前面部分是很无趣的观察，主要来给出函数的构造。

命题转化并消去相当于：

证明给出的

不难得到即为所需的差函数。

同样的，因为我们只关心正负，实际只需令求导即可。

再给一个曾经有人问过的题目：

例5证明

这个的部分是很容易做的，来看右半部分。

我们事实上相当于要证明给出的

如何构造偏移函数呢？事实上，在本题中，有与具有偏移关系。 取而不是多项式构造也是为了顺应本题中的函数形式。

考虑

同上面的考虑，我们只关心符号，因此可以进一步取

求导得到

当然这里也可以考虑一些变形，然后使用不等式方法证明解决。

小结

尽管我们有一些常用的手段，但有的构造的方式稍显天马行空，并且构造函数的也不具有唯一性。 只有正确分析函数的性质，才能给出更贴合条件的构造。

其他偏移

我们最后再来谈谈其他形式的偏移。

拐点偏移

拐点偏移具有的典型问题形式是给定具有拐点的若求证

实际上拐点偏移完全可以等价转化为极值点偏移问题，因为条件可以变为且证明转化为标准的极值点偏移问题。

当然这个转化实际意义并不大。

对于拐点偏移，我们的构造函数的形式与极值点偏移完全相同，只是此时消解的是奇数次项。

这里不再用类似的定义去描述拐点偏移这一类问题，读者可以尝试自行表述。

例6若 满足证明

在这个例子中，一些计算可以看到将和具有拐点偏移效应，

我们事实上只需要构造证明

例7具有两个极值点证明

用经典消去奇数次项的手法，本题可以转化为证明分别对和成立。

不过这种手法略显生硬。

本题的结论不强，可以拆分为两个子问题：

给定 证明这是非常基本的偏移问题。

给定 证明

这里只需要构造有从而

因此有

也就有此时

把两个子问题合并起来，在条件下，若同时成立，将导出及的矛盾，因此必然。

这两个较为简单的拐点偏移问题用对称构造解决也很简单。

拐点偏移还有一道典型题，2018年浙江卷：

例8若证明

本题实质上给的等式条件可以直接简化到

我们直接考虑构造

则给出

不难得到相加即证得最终结果。

下面是另一道题精简表述后的结果：

例9若证明

同样的，为了便于计算，作变量替换，问题简化为证明

本题的精度稍高，展开到三次，考虑则有

依据在单调递减即知结果。

当然，此法也可以直接用于证明对称构造所需证的不等式毕竟本质上这两个方法是相通的。

更一般化的偏移

回顾前文中表达的问题形式：

已知求证

不难看到，前文中我们用到的方法不仅仅适用于极值点偏移，若能构造一个函数单调递增，同样能证明结果。

虽然很难去给更一般化的偏移做一个明确的定义，但可以大致的认为，如果一个问题最终能变形为这种形式，亦或是的形式，我们都可以将它们看成极值点偏移和拐点偏移的推广，并构造函数解决。

例102021新高考一卷证明

左边是再标准不过的极值点偏移，右边的问题简化到

尽管不是极值点偏移，但我们可以发现分别趋于时可以接近

就像极值点偏移时分析极值点处的级数展开式，我们同样可以分析此时在处的级数、极限等性质。

不难发现在处导数趋于无穷。

利用这一性质，我们构造这样构造的函数在处分别趋于无穷和常数。

不难发现该函数单调，亦即为所需要构造的函数。

例11有两个零点，证明

该问题变形到标准形式证明

消去参数也就得到

求导讨论得利用以及就得到

例12有两个零点，证明.

表达为证明

考虑它们的形式，将待证式平方变形为证明

消去项的构造是

显然有

得到自然单调递增。

本题构造线性表达式也是可行的，计算量会大一些。

例13证明

这是24年T8联考的题目，我们可以看到事实上要证明的是给出的因此也可以视为一种偏移。

后记

20年文章撰写之时，此方法大致算得上被熟知。 时过境迁，许多后来人或是仍在重复询问这类问题，或是因受残缺的观点影响而不知其中细节，故今重新整理并完善其中细节，供后来人参考。

个人整理难免有疏漏不足之处，欢迎大家指正。