绳杆两端关联加速度问题详解

绳杆两端关联加速度问题详解

关联速度需掌握的诀窍

1. 杆或绳连接的两物体沿杆或绳方向的分速度相等。
2. 两物体沿相接触垂直接触面的分速度相等。
3. 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和。
4. 杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同。
5. 杆（或张紧的绳）的一端相对另一端做圆周运动。
6. 杆两端运动的能找到一个公共圆心，两端绕公共圆心的角速度相等。

关联加速度

示例：拉船问题

如图所示，某人站在岸上通过绕定滑轮的绳子向岸边拉船。拉绳子速率v₀不变，当拉船的绳子与水平面成θ角时，船前进速度v多大？

1. 船的实际运动就相对地面的速度，也就是合运动。
2. 要分解的运动就是实际（合）运动。
3. 理想绳子不可伸长，沿绳方向分速度相等。

把船的速度分解为径向速度和切向速度，切向速度对绳子长度没有影响，因此拉绳速度v₀和船的速度v的关系是vcosθ=v₀。

变式：加速度问题

如图所示，某人站在岸上通过绕定滑轮的绳子向岸边以加速度a₀拉船。当拉船的绳子与水平面成θ角时，船前进加速度a多大？

不能想当然地认为加速度关系也会如同速度关系一样，不能进行类比，即认为acosθ=a₀。

举一特例，O点固定不动，小球做圆周运动，在最低点加速度为a=v²/L，而O点加速度为零，因此小球加速度和O点加速度是不一样的。绳子两端沿绳方向的分速度是相等的，而分加速度却不一定相等。

船的加速度a在沿绳方向的分量acosθ，此分量已包含了向心加速度，另一个则是沿半径方向速度的变化。asinθ是切向加速度。

一般曲线运动可以看作是半径变化的变速圆周运动。也就是把加速度看作三部分组成，一是向心加速度，二是沿半径方向速率变化的加速度，三是切向加速度。

方法一：加速度分解法

把向心加速度去除，绳子两端加速度就相等了。

沿绳方向的加速度为

a₀=acosθ-(vsinθ)²/L

a=a₀/cosθ+v²sin²θ/Lcosθ

a=a₀/cosθ+v₀²sin²θ/Lcos³θ

方法二：求导法

v₀=vcosθ，a₀=dv₀/dt，a=dv/dt

a₀=dv₀/dt=d(vcosθ)/dt，θ也是一个关于时间t的变量，d(vcosθ)/dt是复合函数的导数。

a₀=(vcosθ)′=v(cosθ)'+v′cosθ

=v(cosωt)'+v′cosθ

=-vωsinωt+v′cosθ

a₀=-vωsinθ+acosθ

=-v²sin²θ/L+acosθ

=-v²sin²θ/L+acosθ

a₀+v²sin²θ/L=acosθ

a=a₀/cosθ+v²sin²θ/Lcosθ

方法三：相对运动法

以O点为参考系（为什么以O点为参考系，因为O点是绳子的另一端）

例题：长为L的轻质杆两端有两个完全相同的小球A和B，A与地面接触，B靠在竖直墙壁上，当杆与水平地面成θ角时，A的速度为vᴀ，加速度为aᴀ，其中vᴀ、aᴀ方向均水平向右，求此时小球B的加速度aʙ。

相对即矢量相减，B相对A

以A为参考系，由于杆子长度L保持不变，B相对A做圆周运动，故B相对A的速度与杆垂直，

vᴀ=vʙ·tanθ

结论：理想绳杆两端去除向心加速度后的沿绳杆方向分加速度相等。

例题：滑轮问题

如图所示，t＝0时A与B间的细绳呈水平状态，A到滑轮的距离为L，现在控制物体A以速度沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，假设绳和杆足够长，物体B不会和滑轮相撞，分析物体B的加速度如何变化。

向心加速度为(vsinθ)²/R

沿绳方向加速度为acosθ

使绳伸长的速率变化率为(vsinθ)²/R+acosθ

由于滑轮大小不变，

aʙ=aᴏ=(vsinθ)²/R+acosθ

例题：杆子问题

如图所示，长为L的杆一端靠在竖直墙上，另一端撑在水平地面上。杆的下端A点在水平地面上以恒定的速率v₀远离墙面，当杆与水平面成α角时，求：

（1）杆的上端B点此时的速度v；

（2）B点此时的加速度a。

例题：斜面问题

如图所示，

在倾角θ＝30°的光滑斜面上，物块A、B质量分别为m和2m，物块A静止在轻弹簧上面，物块B用细线与斜面顶端相连，A、B紧挨在一起，但A、B之间无弹力。已知重力加速度为g某时刻将细线剪断，则剪断细线的瞬间，下列说法错误的是（）。

A. 物块B的加速度为g/2

B. 物块A、B之间的弹力为mg/3

C. 弹簧的弹力为mg/2

D. 物块A的加速度为g/3

例题：滑轮系统问题

质量分别为m₁和m₂的两个小物块用轻绳连接，轻绳跨过位于倾角a＝30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次m₁悬空，m₂放在斜面上，用t表示m₂自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间；第二次，将m₁和m₂位置互换，使m₂悬空，m₁放在斜面上，发现m₁自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3，求m₁与m₂之比。