竖直上抛运动

竖直上抛运动

竖直上抛运动

竖直上抛运动指物体以某一初速度竖直向上抛出（不考虑空气阻力），只在重力作用下所做的运动。竖直上抛运动是物体具有竖直向上的初速度，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为上抛时的匀减速运动和下落时的自由落体运动的两过程。

它是初速度为v0(v0不等于0)的匀变速直线运动与自由落体运动的合运动，运动过程中上升和下落两过程所用的时间相等，只受重力作用且受力方向与初速度方向相反。

竖直上抛运动的性质是初速度不为零的匀变速直线运动。

梳理

竖直上抛运动

（1）运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为 $g$ ，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动。

（2）基本规律

①速度与时间的关系式: $v={v}_{0}-gt$ ；

②位移与时间的关系式: $x={v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$.

判断

1.物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值.( $×$ )

2.做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的（ $\sqrt{}$ ）

提升

1.重要特性

(1)对称性

①时间对称：物体上升过程中从 $A\to C$ 所用时间 ${t}_{Ad}$ 和下降过程中从 $C\to A$ 所用时间 ${t}_{CA}$ 相等（如图），同理 ${t}_{AB}={t}_{BA}$.

②速度对称：物体上升过程经过 $A$ 点的速度与下降过程经过 $A$ 点的速度大小相等.

（2）多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性.

2.研究方法

例题

例1气球以 $10m/s$ 的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地 175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面? 到达地面时的速度是多大? ( $g$ 取 $10m/{s}^{2}$ ，不计空气阻力)

解：

解法一: 全程法

取全过程进行研究，从重物自气球上掉落开始计时，经时间落地，规定初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示.

重物在时间 $t$ 内的位移 $h=-175m$

$\begin{array}{rl}& \text{将}h=-175m,{v}_{0}=10m/s\text{代入}\\ & h={v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}\end{array}$

解得 $t=7s$ 或 $t=-5s$ (舍去)

所以重物落地时速度为 $v={v}_{0}-gt=10m/s-10×7m/s=-60m/s$其中负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反.

解法二：分段法

设重物离开气球后，经过 ${t}_{1}$ 时间上升到最高点，则 ${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{10}{10}s=1s$

上升的最大高度 ${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}_{1}{}^{2}=\frac{1}{2}×10×{1}^{2}m=5m$故重物离地面的最大高度为

$H={h}_{1}+h=5m+175m=180m$

重物从最高处自由下落, 落地时间和落地速度分别为 ${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=$ $\sqrt{\frac{2×180}{10}}s=6s$ $v=g{t}_{2}=10×6m/s=60m/s$ (方向竖直向下)

所以重物从气球上掉落到落地的时间 $t={t}_{1}+{t}_{2}=7s$.

例2一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点 $A$ 的时间间隔是 5 s ，两次经过一个较高点 $B$ 的时间间隔是 3 s ，则 $A、B$ 之间的距离是 (不计空气阻力， $g=10m/{s}^{2}$ )

A. 80 m

B. 40 m

C. 20 m

D. 无法确定

解析：物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 $A$ 点的时间为 $\frac{{t}_{A}}{2}$, 从最高点自由下落到 $B$ 点的时间为 $\frac{{t}_{B}}{2},A、B$间距离为 ${h}_{AB}=\frac{1}{2}g\left[{\left(\frac{{t}_{A}}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{{t}_{B}}{2}\right)}^{2}\right]=\frac{1}{2}×10×\left({2.5}^{2}-{1.5}^{2}\right)m=20m$ ，故选 C.

例3从高为 20 m 的位置以 $20m/s$ 的初速度竖直上抛一物体， $g$ 取 $10m/{s}^{2}$ ，当物体到抛出点距离为 15 m 时，所经历的时间可能是

A. 1 s

B. 2 s

C. 3 s

D. $\left(2+\sqrt{7}\right)s$

解析

取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点 15 m时，位移为 $x=15m$ ，由竖直上抛运动的位移时间公式得 $x={v}_{0}t-$ $\frac{1}{2}g{t}^{2}$, 解得 ${t}_{1}=1s,{t}_{2}=3s$; 当物体运动到抛出点下方离抛出点 15 m时，位移为 ${x}^{\prime }=-15m$ ，由 ${x}^{\prime }={v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ，解得 ${t}_{3}=\left(2+\sqrt{7}\right)s$ 或 ${t}_{4}=\left(2-\sqrt{7}\right)s\left($ 负值舍去 $\right)$, 选项 A、C、D 正确, B 错误.