弧度制及弧度制与角度制的换算
弧度制及弧度制与角度制的换算
文档简介
关于弧度制及弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的
为1度的角。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
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1.圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角。
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=定值，设α=nº，弧长为l，半径OA为r，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与α的大小有关。
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结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
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3.弧度制与角度制相比：
(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；
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（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
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4.公式：，表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
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5.弧度制与角度制的换算
①用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
②平角、周角的弧度数：平角=
rad、周角=2
rad.
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③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角
的弧度数的绝对值:
（l为弧长，r为半径）
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⑤∵360
=2
rad，∴180
rad
∴1
=1rad
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6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
①弧长公式：由公式：比公式简单.
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②扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
又αR=l，所以
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证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.
所以它的面积是
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例1.（1)把112º30′化成弧度(精确到0.001)；（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解：（1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
(2)112º30′=112.5×=.
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例2.把化成度。
解：1rad=
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例3.填写下表：
角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° |
|---|---|---|---|---|---|---|
弧度 |
角度 | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° |
|---|---|---|---|---|---|---|
弧度 |
角度 | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
弧度 |
0π2π
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例4.扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。
解：因为60º=,所以l=α·r=×50≈52.5.
答：的长约为52.5米.
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例5.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为
，面积为2R2的扇形的中心角等于
弧度。
解：（1）240º=，根据l=αR，得
（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.
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例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.合
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例7.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以
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