函数周期性公式及推导

函数周期性公式及推导

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2Dh71lGBU8f.html

函数周期性是数学中一个重要的概念，特别是在研究三角函数和其他周期性现象时。本文将介绍函数周期性的定义、相关公式及其推导过程。

函数周期性的定义

设函数$f(x)$在区间$X$上有定义，若存在一个与$x$无关的正数$T$，使得对于任意$x \in X$，恒有$f(x+T) = f(x)$，则称$f(x)$是以$T$为周期的周期函数。其中，满足上述条件的最小正数$T$称为函数$f(x)$的周期。

周期函数的运算性质

1. 若$T$为$f(x)$的周期，则$f(ax+b)$的周期为$\frac{T}{a}$。
2. 若$f(x)$和$g(x)$均是以$T$为周期的函数，则$f(x) + g(x)$也是以$T$为周期的函数。
3. 若$f(x)$和$g(x)$分别是以$T_1$和$T_2$（$T_1 \neq T_2$）为周期的函数，则$f(x) + g(x)$是以$T_1$和$T_2$的最小公倍数为周期的函数。

函数周期性的具体公式及推导

1. $f(x+a) = -f(x)$

证明过程：
因为$f(x+a) = -f(x)$，且$f(x) = -f(x-a)$，所以$f(x+a) = f(x-a)$，即$f(x+2a) = f(x)$，所以周期是$2a$。

2. $f(x+a) = \frac{1}{f(x)}$

证明过程：
因为$f(x+2a) = f[(x+a)+a] = \frac{1}{f(x+a)} = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} = f(x)$，所以$f(x)$是以$2a$为周期的周期函数。

3. $f(x+a) = -\frac{1}{f(x)}$

证明过程：
因为$f(x+2a) = f[(x+a)+a] = -\frac{1}{f(x+a)} = \frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$，所以$f(x)$是以$2a$为周期的周期函数。

常见三角函数的周期公式

• $\sin x$的周期公式$T = 2\pi$
• $\cos x$的周期公式$T = 2\pi$
• $\tan x$和$\cot x$的周期公式$T = \pi$
• $\sec x$和$\csc x$的周期公式$T = 2\pi$