左右导数与不可导函数

左右导数与不可导函数

在数学分析中，导数是一个核心概念，它描述了函数在某一点处的变化率。然而，并不是所有的函数在每一点都是可导的。本文将详细介绍左右导数的概念，并通过具体例子说明函数在某点不可导的原因。

引入

根据前面的讨论可以看出, 一个函数 $y=f(x)$ 在一点的导数, 从数量的角度去看, 就是因变量对自变量的变化率; 从图形上去看, 导数则是函数曲线在相应点处切线的斜率。

应当指出，并非所有函数在其定义域内都是可导的，也就是说，极限

$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$

未必总存在。 下面将会看到这样的例子。

我们还要指出，在导数定义中的极限是 双侧极限 。

若单侧极限

$$
\lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$

存在，则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的 右导数 ，记为 $f'(x_0+0)$ 。

类似地，若单侧极限

$$
\lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$

存在, 则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的 左导数 , 记为 $f'(x_0-0)$.

显然， 函数在一点可导的充要条件是其左右导数都存在并相等 。

我们考虑函数 $y=|x|$ 。在 $x_0=0$ 点该函数右导数为

$$
\lim_{\Delta x \to 0+0} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1;
$$

而其左导数为

$$
\lim_{\Delta x \to 0-0} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-0} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1
$$

因此, 该函数在 0 点是不可导的。

后面我们还将给出左导数或右导数不存在的例子。

若在区间 $(a,b)$ 内每一点 $x$ 处函数 $f(x)$ 都可导，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。这时每一个 $x \in (a,b)$ 都对应一个导数值 $f'(x)$ ，这样便定义出一个新的函数 $f'(x)$, 它被称为 $f(x)$ 的 导函数 .

左右导数的定义

若

$$
\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
$$

存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数，记作 $f'_+(x_0)$ ；

若

$$
\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
$$

存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记作 $f'_-(x_0)$.

因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论:

函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数 存在且相等.

现在，我们可回答函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导的原因:

在上一节导数的定义里得到

$$
f'+(0) = 1, \quad f'-(0) = -1
$$

而

$$
f'+(0) \neq f'-(0)
$$

所以，该导数不存在。

从数字上看，导数存在是指他的导数值是唯一的；从几何看，导数存在是指图形没有尖角。

例题

例1 已知 $f(x) = \begin{cases} \sin x & x < 0 \ x & x \ge 0 \end{cases}$ ，求 $f'+(0), f'-(0)$ 及 $f'(0)$.

解 $f'+(0) = \lim{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$,

$f'-(0) = \lim{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1,$

故 $f'(0) = 1$.

例2 函数 $f(x) = |x^2 - 1|$ 的导函数的定义域.

解: 函数 $f(x) = |x^2 - 1|$ 是一个到处连续的函数, 它的图象如图所示.

去掉函数式中的绝对值的符号, $f(x)$ 便可以写成分段函数式:

$$
f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \le -1 \text{或} x \ge 1 \ -(x^2 - 1), & -1 \le x \le 1 \end{cases}
$$

所以

$$
f'(x) = \begin{cases} 2x, & x < -1 \text{或} x > 1 \ -2x, & -1 < x < 1 \end{cases}
$$

但是当 $x=-1$ 和 1 时, 函数 $f(x)$ 的左导数和右导数不相等, 即此时导数不存在. 因为当 $x=-1$ 时, 函数 $f(x)$ 在 -1 点左邻域的表达式是

$$
f(x) = x^2 - 1
$$

而在 -1 点右邻域的表达式是

$$
f(x) = -(x^2 - 1)
$$

所以 $f(x)$ 在 $x=-1$ 点的左导数是

$$
\begin{aligned}
f'-(-1) &= \lim{\Delta x \to 0^-} \frac{f(-1 + \Delta x) - f(-1)}{\Delta x} \
&= \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{[(-1 + \Delta x)^2 - 1] - 0}{\Delta x} \
&= \lim_{\Delta x \to 0^-} (-2 + \Delta x) = -2
\end{aligned}
$$

$f(x)$ 在 $x=-1$ 点的右导数是

$$
\begin{aligned}
f'+(-1) &= \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(-1 + \Delta x) - f(-1)}{\Delta x} \
&= \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{-[( -1 + \Delta x)^2 - 1] - 0}{\Delta x} \
&= \lim_{\Delta x \to 0^+} (2 - \Delta x) = 2
\end{aligned}
$$

由于 $f'-(-1) \neq f'+(-1)$, 所以我们说 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处的导数不存在, 同样可得

$$
-2 = f'-(1) \neq f'+(1) = 2
$$

故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处也不可微.

因此, $f(x) = |x^2 - 1|$ 的导函数的定义域是 $x \neq \pm 1$ 的点的集合, 它的函数值如下：

$$
f'(x) = \begin{cases} 2x, & |x| > 1 \ -2x, & |x| < 1 \end{cases}
$$

对照上图来看, 尽管函数 $f(x) = |x^2 - 1|$ 处处连续, 但是在 $x=-1$ 和 1 这两点, 曲线的特征是当动点由左侧趋于定点 1 (或 -1) 时, 割线的极限位置存在；当动点由右侧趋于定点 1 (或 -1) 时, 割线的极限位置也存在, 这两个极限位置分别叫 1 (或 -1) 点的左、右切线, 并且它们之间的夹角不为平角, 点 -1 和 1 分别是曲线的一种角点.

例3 设 $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \ x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \end{cases}$ 讨论它在 0 点的导数.

解：先看一下计算机模拟的其图形：

在前面，我们已经说明了

$$
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 = f(0)
$$

因此, $f(x)$ 在点 $x=0$ 连续, 很明显 $f(x)$ 在其它各点处也都连续, 所以说 $f(x)$ 是一个到处连续的函数, 我们将说明它在原点不存在导数.

因为

$$
\frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \frac{\Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} = \sin \frac{1}{\Delta x}
$$

而当 $\Delta x \to 0$ 时, $\sin \frac{1}{\Delta x}$ 没有极限，故 $f'(0)$ 不存在，就其几何意义来说，当动点沿着曲线 $y = x \sin \frac{1}{x}$ 趋于原点 $O$ 时, 割线 $OQ$ 不断地在 $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$这个幅度之内摆动，而不趋于任何极限位置，即切线不存在（如下图）

左右极限不同为什么不可导

其实真正原因是该点有了明显的变化。 曲线方程在某点附近可以近似的看成不变，即就是一条直线，这就是极限理论。就如微积分学术其实讲的是微量的累积，对于某一单点是可以看似等于0的存在，但对于整体却又是不可或缺的。 所以曲线某种意义上讲是一条直线。这就是0和1的再一次辩证统一。看到这又不得不佩服周易中理论，人家早已经把这个研究的清清楚楚了。 对于经典的Y=∣x∣,是个很好的理解，首先申明这并不是初等函数，而是真正意义上的非初等函数。 在Y=X，相当于每增加1，Y也增加1，而到了Y=-X的时候，,X每增加-1，Y页增加1，这个变化率有了明显变化，而这个转折点就是在X=0，Y=0开始的。所以原点是突发点，即是尖点，对于导数来讲，就必是不可导点。导数第一章提出的就是研究自变量变化快慢的程度，它研究的就是变化。所以相对于尖点角点拐点等都是明显的变化点。在这个点不可导是必然的。曲线是统称。

真正的线只有2种，直线和折线，微积分下，狭义的曲线就是直线。在直线体系下，都属于统一系统，而折线的转点就是奇点，这是两个系统的分界线，可以把Y=-X和Y=X看成已经不是在统一个系统，可以把Y=-X和Y=X看成是两条直线，而0点作为奇点是它们的中转点。这就是牛顿体系在相对论下被推翻的真正原因，外还补充一句不是牛顿体系错了，而是在某些情况下的不适应性。牛顿体系就是在奇点的不适应，这好比是两个世界的穿梭点，牛顿系统并没有解决，比如在Y=X下，牛顿体系完全适用，而跨过了0点它同样适用，而恰好在0点时它产生了问题。因为它一直认为只有一个世界。而相对论突破了这点。因为这个奇点是属于4维体系，而我们现在最高研究的也就是空间理论，而只是3维而已。