抛物线的离心率及相关概念
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抛物线的离心率及相关概念
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https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=723
抛物线的离心率是解析几何中的一个重要概念。在平面直角坐标系中,到定点F与到定直线l距离之比为常数e(e=1)的点的轨迹称为抛物线。其中,定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线,常数e称为抛物线的离心率。
标准方程
抛物线的标准方程有四种形式:
$$
\begin{array}{ll}
y^{2}=2px & y^{2}=-2px \
x^{2}=2py & x^{2}=-2py
\end{array}
$$
其中,上面两种方程表示的抛物线焦点在x轴上;下面两种方程表示的抛物线焦点在y轴上。以焦点在x轴上的抛物线为例,其标准方程为:
$$
y^{2}=2px
$$
离心率
抛物线的离心率e为1,即:
$$
e=1
$$
抛物线的p越大,抛物线开口越大。
准线
抛物线有一条准线,方程为:
$$
x=-\frac{p}{2}
$$
准线与焦点位于抛物线顶点的两侧,且到顶点的距离相等,均为$\frac{p}{2}$。
通径
过抛物线的焦点作垂直于抛物线对称轴的直线,与抛物线交于两点A和B,其长度称为抛物线的通径,有:
$$
|AB|=2p
$$
抛物线的离心率为1,是圆锥曲线中唯一一种离心率为1的曲线。这一性质使得抛物线在物理学、工程学等领域有着广泛的应用,例如,抛物面天线的设计就利用了抛物线的这一特性。
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