数列的极限（极简微积分）

数列的极限（极简微积分）

数列的极限是微积分的核心概念之一。常见的极限类型包括数列的极限和函数的极限。数列作为离散的函数（定义域为 $N^{*}$），其极限概念较为直观易懂。

例 1：圆周率的近似数列

考虑圆周率 $\pi$ 的小数部分无限延伸的特性。我们可以通过一个数列来逼近 $\pi$ 的值，其中第 $n$ 项表示 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似（去尾）：

\begin{equation} a_0 = 3,,, a_1 = 3.1,,, a_2 = 3.14,,, a_3 = 3.141,,\dots~ \end{equation}

显然，当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 趋于 $\pi$。用极限符号表示为：

\begin{equation} \lim_{n \to \infty } {a_n} = \pi ~. \end{equation}

这里 $\lim$ 是极限的数学符号，下方的箭头表示某个量 "无止境" 变化的过程。对于数列而言，唯一的 "无止境" 变化就是项标 $n$ 不断增加。

$\lim\limits_{n \to \infty }$ 相当于一个 "操作"，叫做算符（operator）。它作用在整个数列上，并输出一个数，也就是数列的极限值。这类似于函数输入一个自变量并输出一个函数值，只不过 $\lim$ 算符的自变量从数换成了数列。

极限的严格定义

为了准确描述 "越来越接近" 的概念，我们引入距离的概念。对于数列 $a_n$ 和极限值 $\pi$，它们之间的距离可以用绝对值定义为 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $。对于式 1 的数列，可以发现这个距离不光是越来越小，而且想要多小就有多小。例如：

• 要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-2}$，容易发现 $n > 1$ 时就总能满足；
• 要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-10}$，容易发现 $n > 9$ 时就总能满足；
• 一般地，如果要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-q}$（$q$ 为整数），只要 $n > q-1$ 就总能满足。

这说明 $\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \pi$。

定义 1：数列的极限

考虑无穷项的实数数列 $a_1, a_2, \dots$，若存在一个实数 $A$，使得：无论多么小的正数 $\varepsilon$，总存在正整数 $N$，对任意 $n > N$ 都满足 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$，则该数列的极限就是 $A$。

图 1：数列的极限（查看动画）：图中每点代表数列的一项，数列的极限值为 $1$，红色区域表示对距离 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert $ 的要求，满足要求的 $a_n$ 为红色，不满足的为蓝色。无论红色区域有多窄（只要不为零），总能找到一个不等式 $n > N$ 使之后所有的点都是红色。

例题解析

例 2：证明 $\displaystyle a_n= {(-1)^n}{1\over{2^n}}$ 的极限为 0

证明：

对任意 $\varepsilon$，取 $N=[-\log_2\varepsilon]$，则 $n>N$ 时有 $n>-\log_2\varepsilon$，即 $2^{-n}<\varepsilon$。又 $|a_n-0|=2^{-n}$。

因此，对任意 $\varepsilon$，存在 $N=[-\log_2\varepsilon]$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-0|<\varepsilon$。根据定义有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。

收敛与发散

一些数列不存在极限：

习题 1：

考虑数列 $a_n = n$ 以及 $a_n=(-1)^n$。它们存在极限吗？

如果一个数列不存在极限，就称它是发散（divergent）的。如果存在极限，则称它是收敛（convergent）的。

特殊情况分析

例 3：

容易发现数列的极限和前面有限项的值都无关，例如把式 1 中的前 10 项都改成 $0$，那么该数列的极限仍然是 $\pi$。把前一万项改成 $0$ 也同理。

例 4：

根据定义，数列极限也并不要求 $n\to \infty$ 时数列的项不能等于极限值，例如数列

\begin{equation} b_0 = 3.3,,, b_1 = 3.2, ,, b_2 = \pi, ,, b_3 = \pi, ,, b_n = \pi ;; (n \ge 2)~. \end{equation}

当 $n \ge 2$ 时所有的项都等于 $\pi$，那么根据定义 1他的极限显然也是 $\pi$。因为令 $n > 1$ 即可满足定义中对距离的任何限制。

例 5：

注意存在极限的数列未必要求距离 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert $ 是严格递减的，例如数列

\begin{equation} \frac{1}{2},;; \frac{1}{4},;; \frac{1}{3},;; \frac{1}{5},;; \frac{1}{4},;; \frac{1}{6},;; \frac{1}{5},;; \frac{1}{7},;; \dots~ \end{equation}

的极限是 $0$。