多变量微积分入门：偏导数、偏微分与全微分详解

多变量微积分入门：偏导数、偏微分与全微分详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_74923758/article/details/145068157

在学习多变量微积分时，偏导数、偏微分和全微分是几个核心概念。本文将通过直观的图像和逐步推导，帮助读者理解这些抽象的数学概念。

我们先来回顾一下微分。在单变量微积分中，我们已经知道，可以用一条直线来近似表示函数在某一点附近的曲线。这条直线被称为该曲线在该点的微分。

当自变量从一个变为两个时，要近似的对象就从曲线变成了曲面。如果曲面在（x0，y0）点附近的图像可以用一个平面来近似，那么这个平面就称为曲面在（x0，y0）点的微分。为了与单变量微积分中的“微分”区分，我们称其为“全微分”。

如何找到这个平面？

我们知道，曲面实际上是由曲线构成的。因此，要近似此点附近的曲面，实际上就是要近似过此点的这些曲线。而曲线又可以用直线来近似。这样，我们要找的平面，就是由这些直线所构成的。两条相交的直线就能决定一个平面。

为了找到这个平面，可以按照以下三个步骤操作：

1. 首先找两条曲线。出于简化计算的目的，一般会选择经过此点且平行于x轴的曲线，以及过此点且平行于y轴的曲线。这个操作分别称为曲面在此点对x的偏微分和曲面在此点对y的偏微分。

以平行于x轴的曲线为例，我们把图像换个方向展示。显然，平行于x轴的这条曲线可以看作平面y=y0与曲面的交线。且曲面在此点的偏微分也在平面y=y0上。

这条直线就是函数f（x，y0）在x0处的微分。由于y0是常数，因此变量只剩下了x。

因此，x0点的导数可以用单变量的方法求出。在多变量中，这个导数被称为函数在x0，y0点对x的偏导数。

偏导数的完整定义如下：

这样我们就求出了曲面在x0点对于x的偏微分。同理，也可以求出曲面在y0点对于y的偏微分。

接下来，根据偏微分求出两条直线的方向向量，然后对它们进行叉积运算，运算的结果即为平面的法向量。现在有了平面上的一个点，又有了平面的法向量，就可以根据点法式得到结果。

最后，平面表达式为：

函数对x的偏微分 + 函数对y的偏微分 = 全微分