双曲抛物面

双曲抛物面

双曲抛物面（Hyperbolic paraboloid）或称马鞍面，是二次曲面的一种特殊类型。它在数学、工程和建筑领域都有广泛的应用。本文将详细介绍双曲抛物面的定义、标准方程、性质以及相关特征。

标准方程

双曲抛物面的标准方程是
{\displaystyle \dfrac{x^2}{p} - \dfrac{y^2}{q} = 2z}

其中，{\displaystyle p, q > 0} 是该双曲抛物面的轴参数。原点称为该马鞍面的鞍点。

性质

以下均在双曲抛物面的标准方程中讨论。

• 对称性：双曲抛物面是无心二次曲面，它的对称轴是z轴，对称平面是{\displaystyle yOz, xOz}平面。
• 截面：{\displaystyle z = h~(h \geqslant 0)}截双曲抛物面所得的曲线是双曲线或一对相交直线，平行于{\displaystyle yOz, xOz}平面截双曲抛物面所得的曲线是抛物线。
• 直母线：双曲抛物面是直纹面，它的两族直母线方程是
  {
  以及{
• 生成方式：它可以被认为是一条抛物线{\displaystyle \begin{cases} y^2 = -2qz \ x = 0 \end{cases}}的顶点沿着另一条抛物线{\displaystyle \begin{cases} x^2 = 2pz \ y = 0 \end{cases}}移动时扫过的曲面，如下图。
  

方程特点

二次曲面的一般方程是
F(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a1x+2a2y+2a3z+a0=0
其中a11,a22,a33,a12,a13,a23{\displaystyle a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}}不全为零。 当它是双曲抛物面时有{\displaystyle I_3 = 0, I_4 > 0.}

• 特征根：双曲抛物面有一个零特征根以及一正一负的特征根，标准方程下的特征根是{\displaystyle \dfrac{1}{p}, -\dfrac{1}{q}, 0}；
• 主方向：双曲抛物面有一个奇向以及两个非奇异主方向；
• 渐近方向：双曲抛物面的渐近方向在z轴上；
• 中心：{\displaystyle r = 2 < R = 3}，双曲抛物面是无心二次曲面；
• 主径面：双曲抛物面有两个主径面，标准方程下的主径面是{\displaystyle yOz, xOz}平面。

等轴双曲抛物面

方程是{\displaystyle z = kxy, \quad k \ne 0}的抛物面是等轴抛物面，因为作可逆的线性替换{z′=z后可以化为x′2−y′2=2pz′,p=12k≠0这是双曲抛物面p=q的特殊情形。

这样的双曲面有着一种几何意义：它是到两异面直线距离相等的点的轨迹。