幺正矩阵和厄密矩阵

幺正矩阵和厄密矩阵

本文介绍了数学中的几个重要概念：正交矩阵、幺正矩阵、实对称矩阵和厄密矩阵。文章通过对比的方式介绍了这些矩阵的定义和性质，特别是它们在欧几里得空间和酉空间中的对应关系。虽然文章的原始发布日期是2021年，但其内容具有较高的学术价值，对于学习线性代数或相关领域的读者有很好的参考价值。

酉空间的幺正矩阵对应欧几里得空间的正交矩阵。
酉空间的厄密矩阵对应欧几里得空间的实对称矩阵。

一、正交和幺正

1. 正交矩阵（orthogonal matrix）

正交矩阵定义[1,2]：
，即
。

性质：正交矩阵的行（列）向量组是欧几里得空间的标准正交向量组。

2. 幺正矩阵（unitary matrix）

幺正矩阵（酉矩阵）定义[1,3]：
，即
性质：幺正矩阵的行（列）向量组是酉空间的标准正交向量组。

二、实对称和厄密

1. 实对称矩阵（real symmetric matrix）

实对称矩阵定义[1,4]：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
性质2：对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为正交矩阵。
性质3：对任意的实对称矩阵
，都存在正交矩阵
，使得矩阵
对角化
。

2. 厄密矩阵（Hermitian matrix）

厄密矩阵定义[1,5]：
性质1：厄密矩阵的特征值都是实数。
性质2：对于厄密矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为幺正矩阵。
性质3：对任意的厄密矩阵
，都存在幺正矩阵
，使得矩阵
对角化
。

参考资料：
[1] 《高等代数与解析几何》教材
[2]百度百科：正交矩阵
[3]百度百科：幺正矩阵
[4]百度百科：对称矩阵
[5]百度百科：厄密矩阵