利用势速红移公式推导含引力场的质能方程
利用势速红移公式推导含引力场的质能方程
曾经，质能方程只能在惯性系中写出，不能定量给出非惯性系中质量和能量的关系，一直令爱因斯坦难以释怀。在加速系和引力场中质能方程能否成立，也成为人们好奇、疑虑却心有余而力不足的悬案。本文将循着爱因斯坦1907年在《物体的惯性同它所含的能量有吗？》中所用的方法，只是将他用的时空收缩因子拓展为含引力势φ的，或者说，只是将他所用的多普勒红移公式，换成势速协同红移公式，推导背景系加速运动或者背景时空中包含引力场的质能方程。聊以告慰爱因斯坦和消除人们的疑虑。
设K'系相对于静伽系K沿X轴正向（X'与X轴同向）加速运动，等效为K观测K'处在X轴负方向的引力场中；一个能发光的物体静止在K中,它相对于K的能量记为>E1,相对于K'的能量记为E1'。另设某一时刻t，该物体沿与X轴夹θ角的方向发射能量为ΔE/2的平面光脉冲,同时在相反的方向(π-θ)也发出等量的光；显然，发射光脉冲前后物体相对K系始终静止。并设t时刻，K'相对于K的速度和加速度分别为u和a。发光后物体相对于K和K'的能量分别记为E2和E2'。
因为发射光脉冲时间极短,可认为在同一空间位置完成,所以两个参考系都认为发射光脉冲前后总能量不变。即K系物体发光前后在K系中的能量关系为
（1）
因为光源静止在K系中，由K'系观测会有多普勒效应。在K'看来，发光物体在向X'轴负方向做加速运动；t时刻，它的速度和加速度分别为-u和-a，等效为K'观测该物体处在沿X轴正方向的引力场中（等效引力势为-φ），所以，由K'系观测还有引力红移效应。设光源K相对于K'运动方向与光源到K'系观察者的连线夹θ角；且将K中时钟快慢和量尺长短都调为与K'中的相同。若K'观测K'中光速为c，波长为λ=cT，频率为V，周期，则K'观测K中的光速[1]就跟二系之间势速协同的时空伸缩系数有关，即
K'观测K中波长被压缩为
由频率、波长与光速的关系式，可得K,系观察者观测K系光源所发光的频率为
这就是从纯物理的角度推导的势速相同红移公式，与用四维波矢量公式推导的完全相同。因为光源固定于K系，所以V,为光源的发射频率或称固有频率，V为K'系的接收频率，故得
（2）
于是，K,系测量两个方向光波的频率分别为
和
（3）
再由光子的能量E光=hV，可得K系物体发光前后在K'系中的能量关系为
（4）
考虑到
得
（5）
(5)-(1)式,得
（6）
物体发出光脉冲前后,K观测到它的能量减少了ΔE，物体在发光前后都无动能和势能；而K'观测到它除了发射光脉冲减少的能量之外,物体的动能和引力势能在发光前后都有变化。所以对K,而言,(E'-E)这个差与该物体的机械能所不同的只是二者相差一个常数C，而常数C就是除机械能之外所有能量的总和，忽略高阶小量后就是物体的静能。据此设
（7）
（8）
将(6)式代入(7)-(8)式，得
展开上式中的，在φ<<c2和u<<c的情况下略去高阶小量，可得
（9）
很显然，(9)式左边的两项应该与右边的两项分别对应，即
（10）
（11）
(10)式表明，发光后物体的动能小于发光前物体的动能；相对于K'系，发光前后物体的速度都是-u，所以物体动能的减少确认与速度无关。再由动能的定义式可知动能的增量，动能的减少就只可能是物体的质量减少所造成的。即
（12）
按照同样的思路，引力势能的改变也应该与引力势（同一位置的等效引力势不变）无关,只与物体质量的改变有关。在(11)式中，若φ>0，则发光后物体的引力势能小于发光前物体的引力势能，由引力势能定义式Ep=mφ可知，引力势能的减少是有质量减少造成的；，若φ<0，则发光后物体的引力势能大于发光前物体的引力势能，由引力势能定义式Ep=mφ可知，引力势能的增大也是有质量减少造成的，因为质量越小引力势能负得越少。总之，(11)式给出物 体的质量都是减少的，减少量为
（13）
起初我们只是假设：物体对外辐射了光能量ΔE；最终结果却是：物体的质量减少了。这么明显的因果逻辑，揭示出能量与质量之间有着奇妙的关联：
（14）
或者把(14)式写成：E2-E1=m2c2-m1c2，对应地有E1=m1c2和E2=m2c2.按照最初的假设：发射光波前，K系测量物体的能量为E1，对应着物体的质量m1；发射光波后，K系测量物体的能量为E2，对应着物体的质量m2。发射光波前后，物体的能量减少了ΔE=E1-E2，对应着物体的质量减少了Δm=m1—m2。意味着：物体辐射出去的能量ΔE是以物体的质量减少Δm作为代价的；反言之，物体的质量若莫名地减少了Δm，则它一定向外辐射了能量ΔE。这已为核反应实验所证实：重原子核分裂和轻原子核聚合都会使原子核的总质量减少（叫做质量亏损），质量的亏损就是由对外辐射核能所造成的。正反实物粒子因碰撞而湮灭的实验，更是将质量与能量的这种关系展现到极致。
(14)式给出了能量的改变量与物体质量的改变量之间的关系，而E1=m1c2和E2=m2c2给出的是能量与质量之间的对应关系，去掉角标就是
（15）
这就是我们推导的质能方程，形式上与爱因斯坦的质能方程完全相同。但由于推导(15)式的时空背景中含有加速度或引力场，所以(15)式具有更普遍的意义。主要表现在以下方面：
首先，(12)式中的m是与物体动能有关的质量，按习惯叫做惯性质量mI；而(13)式中的m是与物体的引力有关的质量，习惯称为引力质量mG。在光脉冲发射能量ΔE后，它们减少了同样多的量值。因此，由（12）和（13）式，有ΔmI=ΔmG，也就是
（16）
这正是大名鼎鼎的爱因斯坦等效原理。无需我们刻意地去做假设，它就这样悄然而至。虽是瓜熟蒂落，却属额外惊喜。得感谢势速协同红移公式，更要感谢任意自耦系中的时空伸缩因子没有它们，等效原理就只能停留在假设层面。
既然谈到等效原理，不妨多说几句。为了应用势速协同频移效应，我们曾将K'系观测静止在K系中的物体做加速运动，等效为K'系观测物体处在引力场中（不然就得不到(3)式），而不是像相对论那样等效为物体观测自己处在引力场中。这两种等效模式具有本质差别：前者符合“不仅速度加速度是相对的，引力场也是相对的”客观要求；而后者则认为引力场是绝对的，这就需要一个特殊参考系来甄别引力场，不但有违相对性原理，而且在平直时空和弯曲时空之间划出了一道不可弥合的鸿沟。正是从这里出发，广义相对论便踏上了注定艰辛而坎坷的旅程。
其次，由(1)式可知E1-E2=ΔE，是物体在发光前后，相对于静伽系的能量减少量，对应着非引力场中静止质量（简称为无势静质）m0的减少量。即
（17）
而由势速协同红移公式推得的(5)式，可知E1'-E2'=γΔE，是物体在发光前后，相对于动场系的能量减少量，对应着引力场中运动质量（简称为有势动质）m的减少量。即
（18）
由(17)和(18)式，得Δm=γΔm0，即m=γm0。动场系中，所以有
（19）
表达的是有势动质m与无势静质m0之间的关系，可以简称为质速势关系。
当φ=0时，就退回到狭义相对论中的质速关系：
（20）
很显然，质能方程(15)式中的m，是指(19)式中的m。
在静伽系中，φ=0、u=0、若物体也静止即v=0，则物体的能量就是所谓的静能
（21）
物体静止在静止的引力场中（u=0，v=0，φ≠0），则物体的质量和能量分别为
和
物体在静伽系（u=0，φ≠0）中运动（v≠0）的质量和能量(爱因斯坦质能方程)分别为
和
当物体在静场系（u=0，φ≠0）中运动（v≠0）时，其质量和能量表达式分别为
和
很明显，上述各能量式中所采用的光速，都是引力场中的固有光速c，与之对应的能量可称为固有能量。相应地，与K观测K'系的单项比较光速cφ对应的能量就称做比较能量：
若背景引力场相对K以速率u运动，则背景引力场中比较光速为；相对运动引力场K'系以速率v运动的物体，对应的比较能量为
（22）
(22)式就是异系物理学中普遍适用的质能方程。最右边的第二项，是物体低速（u,v<<c）运动时的动能，第三项是物体在|φ|<<0.5c2时的引力势能。当退回到静伽系（u=0，φ=0），(22)式就退变为爱因斯坦质能方程。
本文原文来自中国科学院网站