线性代数及应用：向量方程和线性组合
线性代数及应用：向量方程和线性组合
线性代数中一个重要的概念是线性组合，以及相关的向量方程等基础概念。本文将从两个方面入手，探讨向量方程在线性组合概念铺垫中的重要性。
首先，我们来看一个最常见不过的方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\vdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
$$
将每一个$x_i$提取出来，可以得到如下形式：
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ \vdots \ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + x_n\begin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ \vdots \ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{pmatrix}
$$
如果我们将
$$
\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix}
$$
看作向量$C_1$，
$$
\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ \vdots \ a_{m2} \end{pmatrix}
$$
看作向量$C_2$，将
$$
\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{pmatrix}
$$
看作向量$b$，则会得到如下的等式：
$$
x_1C_1 + x_2C_2 + \cdots + x_nC_n = b
$$
这就是一个典型的线性组合。所谓的向量方程，其实就是用向量的方法来表示一组有序的数。划重点，有序的数。
为什么强调是有序的数？因为在空间这个概念中，有着大家熟知的一维、二维和三维。下面我们由二维空间来引入，看一下简单的向量方程。
我们把仅含有一列的矩阵称之为列矩阵，也叫向量，例如：
$$
\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
$$
其中$x$和$y$可以是任意实数，也可以是复数。所有两个元素的列矩阵，也就是向量的集合，我们称之为$\mathbb{R}^2$，是指向量中的元素是实数，而它的指数2其实是指的每个向量包含两个元素。
向量的加法和数乘运算与高中所学的向量运算法则相同：
- 向量相加：$\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix}$
- 数乘：假设给定向量$\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$和实数$c$，则$c$和该向量相乘的结果是$c\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cx \ cy \end{pmatrix}$
在平面直角坐标系中，平面上的每个点都是由实数的有序对来表示和确定的。向量$\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$表示了一个由坐标原点（0，0）指向（x,y）方向的一个向量，所以我们可以把几何点和列向量等同，这样$\mathbb{R}^2$也就表示了平面上所有点的集合。
类似的，我们所知道的平行四边形法则也对其奏效。向量$\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix}$和向量$\begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix}$的和$\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix}$的几何表示，对应于以（0，0），（$x_1$，$y_1$），（$x_2$，$y_2$）为顶点的平行四边形的第四个顶点。
接下来，我们来讲讲三维空间中的向量。三维空间中的向量可以表示为：
$$
\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
$$
这表示的是三维空间坐标中的点。将这个模型代入前面讲的线性组合的例子中，会发现x的个数还是2。关于这个问题，我们来看看这个例子抽象出的线性等式：
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ a_{31} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ a_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix}
$$
在这个式子中也没有$z$的影子，那该如何是好呢？
如果我们把式子写成
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ a_{31} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ a_{32} \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix}
$$
大家就会发现，是不是就有$z$啦！
所以我们将线性组合的定义抽象出来：给定$\mathbb{R}^n$中向量$v_1, v_2, \ldots, v_p$和标量$c_1, c_2, \ldots, c_p$，向量
$$
c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_pv_p
$$
称为向量$v_1, v_2, \ldots, v_p$以$c_1, c_2, \ldots, c_p$为权的线性组合。这里的权，指的是权重，可以理解为向量前面的系数常数。
前面所讲的向量方程，是为了更好的理解在几何空间中的线性代数，而能否存在权值使得向量$b$能表示为$v_1, v_2, \ldots, v_p$的线性组合才是我们研究的目的。如果有权值，那么这个线性组合就是存在的，向量方程也是有解的。
就拿我们最开始的例子，最后解出来的矩阵是：
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{pmatrix}
$$
由上一节我们所讲的线性方程组的解集不难看出：
$$
x_1C_1 + x_2C_2 + \cdots + x_nC_n = b
$$
我们求出的这个解集其实就是该线性组合的权值。
我们不难发现，向量方程
$$
x_1C_1 + x_2C_2 + \cdots + x_nC_n = b
$$
和增广矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right]
$$
具有相同的解集。特别的，当该增广矩阵成立时，它的解集可以作为权值使得$b$能表示为$C_1, C_2, \ldots, C_n$的线性组合。