子弹打木块模型详解

子弹打木块模型详解

子弹打木块模型

模型特点

1. 子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
2. 系统的机械能有损失。

两种情景

1. 子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多（完全非弹性碰撞）

• 动量守恒：$m{v}_{0}=\left(m+M\right)v$
• 能量守恒：$Q={F}{f}\cdot s=\frac{1}{2}m{v}{0}^{2}-\frac{1}{2}\left(M+m\right){v}^{2}$

2. 子弹穿透木块

• 动量守恒：$m{v}{0}=m{v}{1}+M{v}_{2}$
• 能量守恒：$Q={F}{f}d=\frac{1}{2}m{v}{0}^{2}-\left(\frac{1}{2}M{v}{2}^{2}+\frac{1}{2}m{v}{1}^{2}\right)$

例题解析

例1

(多选)如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相等、材料不同的两矩形滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍。已知A、B足够长，两种射入过程相比较

A. 射入滑块A的子弹速度变化大
B. 整个射入过程中两滑块受的冲量一样大
C. 射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍
D. 两个过程中系统产生的热量相等

解：子弹射入滑块过程中，子弹与滑块构成的系统动量守恒，有$mv_0＝(m＋M)v$，两个子弹的末速度相等，所以子弹速度的变化量相等，A错误；

滑块A、B动量变化量相等，受到的冲量相等，B正确；

对子弹运用动能定理, 有 ${W}{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}{0}^{2}$, 由于末速度 $v$ 相等, 所以阻力对子弹做功相等, C 错误;

对系统，由能量守恒可知，产生的热量满足 $Q=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}\left(m+M\right){v}^{2}$ ，所以系统产生的热量相等, D 正确.

例2

(多选)水平飞行的子弹打穿固定在水平面上的木块，经历时间为$t_1$，子弹损失的动能为$\Delta E_{k1}^损$，系统机械能的损失为$E_1^损$，穿透后系统的总动量为$p_1$；同样的子弹以同样的速度打穿放在光滑水平面上的同样的木块，经历时间为$t_2$，子弹损失的动能为$\Delta E_{k2}^损$，系统机械能的损失为$E_2^损$，穿透后系统的总动量为$p_2$。设木块给子弹的阻力为恒力且上述两种情况下该阻力大小相等，则下列结论正确的是

A. $t_2>t_1$
B. $\Delta E_{k2}^损>\Delta E_{k1}^损$
C. $E_2^损>E_1^损$
D. $p_2>p_1$

解：两次打穿木块过程中，子弹受到的阻力 ${F}{f}$ 相等，根据牛顿第二定律有 $a=\frac{{F}{f}}{m}$，两次子弹的加速度相等；第二次以同样的速度击穿放在光滑水平面上同样的木块，由于在子弹穿过木块的过程中，木块会在水平面内滑动，所以第二次子弹的位移 ${x}{2}$ 要大于第一次的位移 ${x}{1}$，即 ${x}{2}>{x}{1}$；子弹做减速运动，由位移公式 $x={v}{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 和 ${x}{2}>{x}{1}$ 可得， ${t}{2}>{t}_{1}$, 故A正确.

两次打穿木块过程中，子弹受到的阻力相等，阻力对子弹做的功等于子弹损失的动能，即$\Delta E_k^损＝F_fx$，由于$x_2>x_1$，所以$\Delta E_{k2}^损>\Delta E_{k1}^损$，故B正确.

两次打穿木块过程中，子弹受到的平均阻力相等，系统摩擦产生的热量$Q＝F_fd$，其中$F_f$为阻力，$d$为子弹相对于木块的位移大小，由于两次子弹相对于木块的位移大小都是木块的长度，所以系统机械能的损失相等，即$E_2^损＝E_1^损$，故C错误.

$p_1$小于子弹的初动量，第二次子弹穿透木块的过程，系统的动量守恒，则$p_2$等于子弹的初动量，所以$p_2>p_1$，故D正确.

例3

如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。

(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能.

(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？

解：（1）设子弹射入木块后与木块的共同速度为 $v$，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得 $m{v}{0}=\left(M+m\right)v$，代入数据解得 $v=6m/s$此过程系统所产生的内能 $Q=\frac{1}{2}m{v}{0}^{2}-\frac{1}{2}\left(M+m\right){v}^{2}=882J$.

（2）假设子弹以 ${v}{0}^{\prime }=400m/s$ 的速度入射时没有射穿木块，则对以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得 $m{v}{0}^{\prime }=\left(M+m\right){v}^{\prime }$

解得 ${v}^{\prime }=8m/s$

此过程系统损失的机械能为

$\Delta {E}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}\left(M+m\right){v}^{2}=1568J$

由功能关系有 $Q=\Delta E={F}{阻}{x}{相}={F}_{阻}d$

$\Delta {E}^{\prime }={F}{阻}{x}{相}^{\prime }={F}_{阻}{d}^{\prime }$

则 $\frac{\Delta E}{\Delta {E}^{\prime }}=\frac{{F}{阻}d}{{F}{阻}{d}^{\prime }}=\frac{d}{{d}^{\prime }}$，

解得 ${d}^{\prime }=\frac{1568}{147}cm$

因为 ${d}^{\prime }>10cm$，所以能射穿木块.