麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数与齐奥尔科夫斯基火箭方程详解

创作时间:

作者:

@小白创作中心

麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数与齐奥尔科夫斯基火箭方程详解

引用

来源

https://www.cnblogs.com/laoshan-plus/p/18365007

麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数和齐奥尔科夫斯基火箭方程是物理学和航天工程学中的两个重要理论。前者描述了理想气体分子在平衡态下的速度分布规律，后者则揭示了火箭推进的基本原理。本文将详细介绍这两个理论的基本概念、推导过程和实际应用。

麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数

麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数描述了在平衡态下，理想气体分子在不同速度区间内的分布情况。具体来说，它给出了气体分子速率在 $v$ 到 $v+\mathrm{d}v$ 区间内的分子数占总分子数的百分比：

$$
\frac{\mathrm{d}N_v}{N}=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\mathrm{e}^{-\frac{mv^2}{2kT}}\mathrm{d}v
$$

其中，$m$ 是气体分子的质量，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。从这个表达式可以得到速度分布函数：

$$
f(v)=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\mathrm{e}^{-\frac{mv^2}{2kT}}
$$

性质分析

最概然速率：最概然速率 $v_p$ 是指分布函数取最大值时的速度。通过求导并令其等于零，可以得到：

$$
v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}, \quad f(v_p)=\frac{1}{\mathrm{e}}\left(\frac{8m}{\pi kT}\right)^{1/2}
$$

其中，$R$ 是摩尔气体常数，$M$ 是气体的摩尔质量。

平均速率：平均速率 $\overline{v}$ 是所有分子速率的算术平均值，可以通过积分求得：

$$
\overline{v}=\int_0^{\infty}vf(v)\mathrm{d}v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}
$$

方均根速率：方均根速率 $v_{\text{rms}}$ 是所有分子速率平方的算术平均值的平方根：

$$
v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}
$$

齐奥尔科夫斯基火箭方程

齐奥尔科夫斯基火箭方程描述了火箭在自由空间中飞行时速度的变化规律。假设火箭在自由空间飞行，不受引力和阻力的影响。设 $t$ 时刻火箭质量为 $M$，速率为 $v$，总动量为 $Mv$。经过 $\mathrm{d}t$ 时间，火箭喷出质量 $\mathrm{d}m$ 的气体，速率相对火箭为 $u$。

在 $t+\mathrm{d}t$ 时刻，火箭速率变为 $v+\mathrm{d}v$。此时总动量为 $\mathrm{d}m(v-u)+(M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)$。由于喷出气体质量 $\mathrm{d}m$ 等于火箭质量的减少即 $-\mathrm{d}M$，由动量守恒定律可得：

$$
-\mathrm{d}M(v-u)+(M+\mathrm{d}M)(v+\mathrm{d}v)=Mv
$$

展开并略去二阶无穷小项，得到：

$$
u\mathrm{d}M+M\mathrm{d}v=0, \quad \text{即} \quad \mathrm{d}v=-u\frac{\mathrm{d}M}{M}
$$

积分得到齐奥尔科夫斯基方程：

$$
\Delta v=u\ln\frac{M_i}{M_f}
$$

这个方程表明，火箭在燃料燃烧后增加的速率与喷气速率成正比，与火箭始末质量比的对数成正比。