正惯性指数和负惯性指数的定义与计算方法

正惯性指数和负惯性指数的定义与计算方法

正惯性指数和负惯性指数是线性代数中二次型理论的重要概念，它们分别表示二次型标准形中系数为正和为负的个数。本文将详细介绍这两个概念的定义、计算方法及其在矩阵理论中的应用。

正负惯性指数即二次型的标准形中系数为正负的个数；设 $f = X^TAX$，其中 $A$ 为对角矩阵时，正负惯性指数即为主对角线上元素正负的个数。实对称矩阵合同的充要条件是正负惯性指数相同。

正惯性指数等于正特征值的个数，负惯性指数等于负特征值的个数。正负惯性指数之和等于非零特征值的个数，也即矩阵的秩。

例如，考虑二次型 $f=x_1^2-x_2x_3$，可以将其表示为：
$$
f=x_1^2 – \frac{1}{4}(x_2+x_3)^2 + \frac{1}{4}(x_2-x_3)^2
$$
因此，其规范形为 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$。或者通过计算矩阵
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -\frac{1}{2} \
0 & -\frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
$$
的特征根，可以发现有两个正根和一个负根，即正惯性指数为2，负惯性指数为1。

用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵 $A$ 合同的对角矩阵的对角线元素中，正的个数和负的个数是由 $A$ 确定的，把这两个数分别称为 $A$ 的正惯性指数和负惯性指数。合同于 $A$ 的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数 $p$ 和 $q$ 就是 $A$ 的正、负惯性指数。

由惯性定理可知，二次型的正、负惯性指数是由二次型本身唯一确定的。事实上，正（负）惯性指数即为二次型矩阵 $A$ 的正（负）特征值的个数。

正惯性指数

• 中文名：惯性指数
• 外文名：index of inertia
• 类型：天文学专有名词
• 拼音：guanxingzhishu
• 内容简介：中文译名惯性指数
• 英文原名/注释：index of inertia

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