程序猿之数学分析 1.1 实数的无尽小数表示与顺序
程序猿之数学分析 1.1 实数的无尽小数表示与顺序
实数的无尽小数表示与顺序不仅是数学分析的基本内容，也是程序员在处理浮点运算时必须理解的概念。通过掌握这些知识，程序员可以更好地理解计算机中的数值表示与运算，从而避免常见的编程陷阱，并编写出更加可靠的代码。
程序猿之数学分析：1.1 实数的无尽小数表示与顺序
引言
对于程序员而言，数学分析不仅是构建复杂算法和处理大数据的工具，也是理解计算机如何表示和处理数字的关键环节。在这篇博客中，我们将探讨实数的无尽小数表示与顺序，这是数学分析中的基础内容，同时也是计算机科学中的重要概念。
1. 实数的无尽小数表示
实数可以用小数来表示，而其中大部分实数都是无尽不循环小数。无尽小数表示的一个显著特点是它具有无限多的位数，而这些位数不能通过有限的表达式完全表示出来。
1.1 有理数与无理数
有理数：有理数可以表示为两个整数之比，即形如 $\frac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，且 $q$ 不为零。有理数的小数表示要么是有限小数，要么是无限循环小数。
无理数：无理数不能表示为两个整数之比。它们的小数表示为无限不循环小数。典型的例子包括 $\sqrt{2}$ 和 $\pi$。
1.2 小数表示的唯一性
对于每一个实数，都存在唯一的无尽小数表示形式。例如，0.3333... 以无限循环的小数形式表示 $\frac{1}{3}$。但在某些情况下，例如 1.000... 和 0.999...，它们看似不同，但实际是相同的数。这种现象展示了实数小数表示的特殊性。
2. 实数的顺序与大小比较
在数学分析中，实数的顺序是一个核心概念，它定义了数轴上的每个实数的位置。实数的顺序关系决定了它们在数轴上的排列，并影响了我们如何处理和比较这些数。
2.1 实数的大小比较
实数的大小可以通过它们的小数表示逐位比较来确定。例如，考虑两个数 $a=0.25$ 和 $b=0.257$，从左到右逐位比较它们的小数部分，可以得出 $b>a$。
2.2 实数的密度性质
实数具有密度性质，这意味着在任意两个不同的实数之间，总存在另一个实数。例如，在 0.1 和 0.2 之间，可以找到无穷多个实数，如 0.15、0.17 等。这种性质在计算机处理浮点数时也有类似的体现，尽管计算机中的浮点数是有限的。
2.3 实数的有序性
实数集 $\mathbb{R}$ 是一个全序集，即对于任意两个实数 $a$ 和 $b$，要么 $a<b$，要么 $a=b$，要么 $a>b$。这种有序性使得实数可以被排成一条连续的数轴，从负无穷到正无穷。
3. 计算机中的实数表示
虽然在数学中，实数可以有无限的小数位，但计算机在处理实数时，必须使用有限的位数。这导致了浮点数表示的出现。
3.1 浮点数表示
计算机使用浮点数来表示实数，它由一个有效位数和一个指数部分组成。尽管浮点数可以表示非常大的数或非常小的数，但它们的精度是有限的，这与实数的无尽小数表示存在本质差异。
3.2 浮点数的精度与舍入误差
由于浮点数的位数有限，计算机在处理浮点运算时会引入舍入误差。这些误差可能会在连续的运算中累积，导致结果与理论上的精确值有显著差异。因此，在编写涉及实数运算的程序时，程序员需要特别注意浮点数的精度问题。
程序猿之数学分析：第一章 实数
引言
微积分的创始可以追溯到17世纪后半期，当时的大师们在探索更为强大的数学方法。这些大师们解决了许多被认为极其复杂的问题，但却未能为其方法提供严密的逻辑证明，这导致了长达一个多世纪的争论和误解。直到19世纪初，柯西（Cauchy）才通过极限理论为微积分奠定了坚实的基础。此后，康托尔（Cantor）和戴德金（Dedekind）等人经过严密的审查，发现极限理论的一些基本原理依赖于实数系的一个重要性质——连续性。本章的重点将是探讨实数系的连续性，帮助读者抓住关键问题，深入理解而不过分拘泥于细节。
§1 实数的无尽小数表示与顺序
在初等数学课程中，我们已经熟悉了有尽小数的概念，并学会了如何进行这些小数的加减乘除运算。我们还知道，任何有理数都可以表示为无尽循环小数（有尽小数可以看作是后面接一串0的无尽循环小数）。在此基础上，我们进一步引入无尽不循环小数来表示无理数。这样，一般来说，实数可以表示为无尽小数。在这种朴素理解的背景下，我们将考察实数的顺序，讨论实数系的连续性问题，并定义实数的运算。
1.1 无尽小数的表示
无尽小数的形式如 $\pm a_0.a_1a_2…a_n…$，其中 $a_0 \in \mathbb{Z}^+$，而 $a_1, a_2, …, a_n,…$ 每一个都是0到9之间的整数。这样的表示被称为无尽小数。通常情况下，形如 $\pm a_0.a_1a_2…a_n…$ 的无尽小数常常简写为 $a_0.a_1a_2…a_n…$。我们还约定：形如 $\pm a_0.a_1a_2…a_m0000…$ 的无尽小数可以写成 $\pm a_0.a_1a_2…a_m$，并称之为有尽小数。
1.2 等同关系
对于无尽小数，我们规定了以下等同关系 $(E1)$ 和 $(E2)$：
- $(E1)$：$-0.000… = +0.000…$
- $(E2)$：$\pm b_0.b_1…b_p999… = \pm b_0.b_1…(b_p+1)000…$（其中 $b_p < 9$）
在这些等同关系中，等号左边的无尽小数被称为非规范小数，其他的无尽小数则称为规范小数。所规定的等同关系将每一个非规范小数等同于一个与它相对应的规范小数。
1.3 实数的定义
在所有的无尽小数中，我们将每两个彼此等同的无尽小数视为同一个数，这样就得到了实数。于是，每一个实数都具有唯一的规范小数表示。规范表示为 $+a_0.a_1a_2…$ 的实数被称为非负实数，其中规范表示为 $+0.00…$ 的实数记为0。规范表示为 $-b_0.b_1b_2…$ 的实数被称为负实数。
1.4 相反数
两个非零实数，如果它们的规范小数表示的各位数字分别相同，但符号相反，那么我们就说这两实数互为相反数。0的相反数就规定为0自己。实数 $x$ 的相反数通常记为 $-x$。
1.5 实数的顺序
我们定义比较两个实数大小的规则如下：
情形1：两实数都是非负实数。对于规范表示的两个非负实数 $a = a_0.a_1a_2…a_n…$ 和 $b = b_0.b_1b_2…b_n…$，我们逐位比较它们的各位数字。如果 $a_0 = b_0,…,a_{p-1} = b_{p-1}, a_p > b_p$，那么我们就说 $a$ 大于 $b$。
情形2：两实数都是负实数。对于规范表示的两个负实数 $-c = -c_0.c_1c_2…c_n…$ 和 $-d = -d_0.d_1d_2…d_n…$，如果 $c_0 = d_0,…,c_{q-1} = d_{q-1}$，那么我们就说 $-c$ 大于 $-d$。
情形3：两实数中一个是非负实数，另一个是负实数。我们规定任何非负实数大于任何负实数。
如果实数 $x$ 大于实数 $y$，那么我们就说实数 $y$ 小于实数 $x$。如果两个实数具有相同的规范小数表示，那么我们就说这两实数相等。
通过上述方式，我们在实数中定义了“大于” $>$、“小于” $<$ 和“等于” $=$ 等关系。这种顺序关系具有“三歧性”和“传递性”：
三歧性：对任意两个实数 $a$ 和 $b$，必有以下三种情形之一出现，而且也只有其中之一出现：$a>b$，$a=b$ 或者 $a<b$。
传递性：如果 $a>b$，$b>c$，那么 $a>c$。
我们还约定：用记号 $a \geq b$ 表示“$a>b$ 或者 $a=b$”，用记号 $a \leq b$ 表示“$a<b$ 或者 $a=b$”。
1.6 实数系的稠密性
在实数系中，有尽小数具有稠密性。这个性质可以通过以下定理说明：
定理设 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $a<b$。则存在有尽小数 $c$，满足 $a<c<b$。
证明如果 $a<0<b$，那么 $c=0$ 就满足要求。因此只需考察 $0 \leq a < b$ 或者 $a < b \leq 0$ 的情形。我们只对 $0 \leq a < b$ 的情形进行证明，另一情形留给读者作为练习。
设 $a$ 和 $b$ 的规范小数表示为 $a = a_0.a_1a_2…$ 和 $b = b_0.b_1b_2…$。
因为 $a<b$，所以存在 $p \in \mathbb{Z}^+$，使得 $a_0 = b_0,…,a_{p-1} = b_{p-1}, a_p < b_p$。
又因为 $a_0.a_1a_2…$ 是规范小数，所以存在 $q>p$，使得 $a_q < 9$。
我们取 $c = a_0.a_1…a_{p-1}(a_p+1)00…$，于是 $c$ 是有尽小数，它满足 $a<c<b$。
1.7 实数的绝对值
实数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 定义如下：
如果 $x$ 是非负实数，则 $|x| = x$。
如果 $x$ 是负实数，则 $|x| = -x$。
结语
通过对实数的无尽小数表示与顺序的学习，我们不仅加深了对实数这一基本数学概念的理解，也为后续的数学分析学习奠定了重要基础。理解这些基本概念将帮助我们在更复杂的数学理论中找到立足点，进而深入探索数学的无限可能性。