正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

正弦定理：(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma})

余弦定理：(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma)

正弦定理推导：

由(\sin\alpha=\frac{z}{c})，(\sin\beta=\frac{y}{c})

得(\frac{z}{\sin\alpha}=\frac{y}{\sin\beta})（1）

由(\sin(\pi-\gamma)=\frac{z}{a})，(\sin(\pi-\gamma)=\frac{y}{b})

得(\frac{z}{a}=\frac{y}{b})

将（1）左侧乘以(\frac{a}{z})，右侧乘以(\frac{b}{y})

得(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta})

同理，得出角(\alpha,\beta,\gamma)与边(a,b,c)之间的关系为(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma})，即正弦定理。

余弦定理推导：

由图可得三角恒等式：

(x^2+y^2=b^2)（1）

((a+x)^2+y^2=c^2)（2）

将（1）以(y^2)的形式带入（2），可得

(c^2=(a+x)^2+b^2-x^2=a^2+b^2+2ax)（3）

由(\cos(\pi-\gamma)=\frac{x}{b})，(\cos(\pi-\gamma)=-\cos\gamma),可得

(x=-b\cos\gamma)（4）

将（4）带入（3）可得

(c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma)，即余弦定理。