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圆的方程详解：标准式、一般式及其转换

创作时间:

作者:

@小白创作中心

圆的方程详解：标准式、一般式及其转换

引用

来源

https://learnsmart.edu.hk/blog/equations-of-circles

圆方程（Equations of Circles）是描述平面上圆的几何形状的代数表达式。一个圆可以由一个中心点和一个半径来定义。给定圆的中心点坐标 (h,k) 和半径 r，我们可以将圆上的所有点 (x,y) 用以下标准圆方程来表示：

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

这个方程根据勾股定理得出：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即 $\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r$。平方两边后得到上述标准圆方程。

示例：

圆心为原点 (0,0)，半径为 5 的圆方程为：$x^2 + y^2 = 25$。
圆心在点 (3,-4)，半径为 6 的圆方程为：$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 36$。

除了标准圆方程外，还有一种广义圆方程：

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$$

其中，A 和 B 均为正数，且 A=B。这种广义圆方程可以通过变换转化为标准圆方程。通过观察方程的系数，我们可以找到圆心和半径的坐标。

圆方程在解析几何、代数和微积分等数学领域都有应用。例如，我们可以用圆方程求解两圆之间的位置关系（相交、相切、相离），计算圆周长和面积，以及找到与直线、抛物线等其他曲线的交点。

圆方程标准式 Standard Form

圆方程标准式（Standard Form）是表示圆的一种标准形式，它的一般形式为：

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

其中，(h, k) 表示圆心的坐标，r 表示圆的半径。

具体来说，标准式中的 $(x-h)^2$ 和 $(y-k)^2$ 分别代表圆心到圆上任意一点的水平距离和垂直距离的平方和，也就是圆心到这个点的距离的平方。而 r 则代表这个距离的平方根，也就是圆的半径。

在圆的几何性质中，圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。因此，标准式中的 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 就是描述圆的基本属性，可以由圆心和半径来确定圆的位置和大小。

标准式也可以用来转换其他形式的圆方程，例如，若已知圆的一般式方程为 $Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0$，则可以通过配方和移项将其转换为标准式。具体的步骤可以参考高中数学教材中的相关内容。

总之，圆方程标准式是描述圆的一种基本形式，它可以由圆心和半径来确定圆的位置和大小，也可以用来转换其他形式的圆方程。

圆方程一般式 General Form

圆方程一般式（General Form）是描述圆的一种形式，它可以用来自由表示任意位置和半径的圆。一般式的表达形式是：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

其中，D、E、F 分别为方程的系数，x 和 y 分别表示圆上任意一点的坐标。一般式中的系数可以通过圆的特定属性来推导出来，例如圆心坐标和半径等。

圆方程一般式也可以表示为向量形式：

$$(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = r^2$$

其中，$\vec{r}$ 表示圆上任意一点的位置向量，$\vec{r_0}$ 表示圆心的位置向量，r 表示圆的半径。向量形式的好处是可以更直观地描述圆的特征，例如圆心和半径等。

与圆方程标准式不同，圆方程一般式不方便计算圆心和半径，需要经过配方和移项才能转换为标准式。因此，在解决具体问题时，标准式更常用和方便。

要计算圆心坐标及半径，可以通过将圆方程一般式转换成标准式来实现。

具体地，对于圆方程一般式：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

可以将其变形为：

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}\right)^2$$

这个形式就是圆方程标准式，其中圆心坐标为 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$，半径为 $\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。

因此，通过配方和移项，可以将圆方程一般式转换成标准式，从而计算圆心坐标和半径。需要注意的是，当 $D^2 + E^2 - 4F < 0$ 时，圆方程没有实数解，表示没有实际的圆存在。

总之，圆方程一般式是描述圆的一种形式，可以用来自由表示任意位置和半径的圆，但需要经过转换才能计算出圆心和半径。

圆方程标准式 Standard Form 一般式 General Form 转换

圆方程一般式 General Form 转为标准式 Standard Form

要将圆方程从一般式转换为标准式，可以按照以下步骤进行：

将一般式中的常数项移项，将其移到等号右侧。这样可以使得方程左侧只剩下 x 和 y 的一次项和二次项。
将一般式中的一次项系数除以 2，得到 D/2 和 E/2，然后将其添加到左侧的 $x^2$ 和 $y^2$ 项中。这样可以将 x 和 y 的一次项消去，只剩下 $x^2$ 和 $y^2$ 项。
将左侧的 $x^2$ 和 $y^2$ 项合并，得到 $\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2$。
求出右侧的常数项，即 $\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F$。
将右侧的常数项除以左侧的二次项系数，即 1，得到等号右侧的半径平方。
将等号右侧的半径平方开根号，得到等号右侧的半径。

因此，一般式转换为标准式的公式为：

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$

其中，圆心坐标为 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$，半径为 $\sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}}$。

需要注意的是，如果一般式中的系数不是整数或分数，需要先通过通分化为分数形式，再进行转换。此外，如果一般式中的右侧常数项不为零，需要先将其移项，变为等号右侧的负数。

圆方程一般式 General Form 转为标准式 Standard Form 例子

假设有一个圆的一般式方程为：

$$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$$

要将其转换为标准式，可以按照以下步骤进行：

将常数项 9 移项，得到：
$$x^2 + y^2 - 6x - 8y = -9$$
将 x 项和 y 项的系数除以 2，得到：
$$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = -9 + 9 + 16$$
将完全平方形式化简，得到：
$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$$

因此，圆的标准式方程为：

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$$

圆心为 (3,4)，半径为 2。

圆方程标准式 Standard Form 转为一般式 General Form

要将圆方程从标准式转换为一般式，可以按照以下步骤进行：

展开标准式中的平方项，得到：
$$x^2 + 2Dx + \frac{D^2}{4} + y^2 + 2Ey + \frac{E^2}{4} = F$$
将 $\frac{D^2}{4}$ 和 $\frac{E^2}{4}$ 合并为一个常数项 C，得到：
$$x^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey + C = F$$
将 C 和 F 移项，得到：
$$x^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey = F - C$$
将左侧的二次项分解为完全平方形式，得到：
$$(x + D)^2 - D^2 + (y + E)^2 - E^2 = F - C$$
将 $D^2$ 和 $E^2$ 加到等号右侧的常数项中，得到：
$$(x + D)^2 + (y + E)^2 = F - C + D^2 + E^2$$
通过展开平方项，可以得到一般式：
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + \left(C - F + \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4}\right) = 0$$

因此，标准式转换为一般式的公式为：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + \left(C - F + \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4}\right) = 0$$

其中，D 和 E 分别为圆心坐标 x 和 y 分量的相反数，C 为半径的平方，F 为标准式等号右侧的常数项。

需要注意的是，如果标准式中的圆心不是坐标轴的交点，需要先进行平移，让圆心移至坐标轴的交点。此外，如果标准式中的半径不是整数或分数，需要先将其平方，再进行转换。