运动学基础：位置、速度与加速度

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运动学基础：位置、速度与加速度

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https://toposuranos.com/material/zh/%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AD%A6/

运动学是物理学中研究物体运动规律的分支，它关注的是物体的位置、速度和加速度等运动学量随时间的变化。本文将从基本概念出发，详细探讨位置、速度和加速度之间的关系，并推导出具有恒定加速度的运动方程。

运动学基础：位置、速度和加速度

学习目标：

在这节课结束时，学生将能够：

回忆运动学中位置、速度和加速度的基本定义。
分析加速度、速度和位置之间的关系。
应用导数和积分从加速度计算速度和位置，反之亦然。
理解瞬时速度和平均速度，以及瞬时加速度和平均加速度之间的区别。

介绍

通过积分加速度可以计算速度和位置，而通过求导位置可以得到速度和加速度。这些话概括了我们将探讨的运动学内容，我们的主要目标之一是理解这些术语的含义。运动代表了一种变化，自然界的一切都处于变化之中。因此，研究变化及其变化形式是物理学的基本支柱之一。

有很多变量是容易变化的：新事物变得陈旧，人们可以从一种职业转换到另一种职业，从健康到生病，反之亦然，以及从白天到黑夜，等等。这些都是变化的例子，但在研究运动学时，我们将专注于其中一种：位置或运动的变化。在对运动的研究中，我们可以看到两种互补的方法：一种是基于产生运动的原因，另一种是基于运动的方式，分别形成了动力学和运动学，这两者共同构成了力学。

在物理学中，我们将物理空间建模为一个向量空间，以方便表示诸如位置、速度和加速度等概念。通常，我们使用三维空间(\mathbb{R}^3)来实现这个目的，尽管理论上任何维度的空间都可以根据上下文来适用。

位置、空间和观察者

让我们考虑一个函数
[
\begin{array}{rll}
\vec{r}:\mathbb{R}[T]&\longrightarrow&\mathbb{R}^n[L] \
t &\longmapsto&\vec{r}(t)
\end{array}
]
这是一个将位置(\vec{r}(t))分配给每个(t\in\mathbb{R})的函数，因此我们称之为位置函数（或简单地称为位置）。自变量(t)被称为“时间”，参数(n)对应于空间的“维度”。符号([T])和([L])分别指时间和长度的物理量，通常以“秒”和“米”为单位。

位置，像任何物理量一样，是由观察者测量的。在我给出的关于位置的描述中，我隐含地假设观察者具有零向量的坐标，(\vec{0})。如果观察者(\mathcal{O})拥有向量(\vec{r})的坐标，而点物体拥有坐标(\vec{r}^\prime)，那么相对于观察者的位置将是：
[
\vec{r}_\mathcal{O} = \vec{r} - \vec{r}^\prime
]

空间是所有可能位置的集合，也是相对于任何观察者的所有可能位置的集合。位置是时间的函数，用于数学上表示一个理想化物体称为“点物体”在每一时刻(t)所在的地方。点物体是一种理想化的概念，它是当我们剥夺一个真实物体的所有特性，包括大小和形状，只保留它“占据空间的位置”时剩下的东西。

位置通常是一个向量。向量由两个元素组成：大小和方向。相对于观察者的位置的大小是与观察者的距离，由公式(dist_\mathcal{O}(t)=|\vec{r}_\mathcal{O}(t)|)表示。

从这里开始，强烈推荐掌握微积分课程中的内容，微分微分和积分。

速度和速率

如果位置对时间可微分，那么可以定义相对于观察者(\mathcal{O})，(\vec{v}\mathcal{O}(t))，的速度如下：
[
\vec{v}\mathcal{O}(t) =\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{r}\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}_\mathcal{O}(t)}{dt}
]
简单来说，速度是位置的时间导数，告诉我们在每个时刻(t)位置如何变化。

速度有两种类型：瞬时速度和平均速度。瞬时速度是刚才呈现的，平均速度则通过省略极限计算得到。在时间间隔长度(\Delta t)上的平均速度(\left< \vec{v}{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>)，定义为
[
\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{r}\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}
]
其中(\overline{t})是包含在间隔([t,t+\Delta t])中的任何时刻。

从速度（无论是瞬时的还是平均的）中，可以定义速率作为其对应的大小。相对于观察者(\mathcal{O})的速率是(v_\mathcal{O}(t)=|\vec{v}_\mathcal{O}(t)|)，平均速率(\left< {v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = |\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>|)。

速率和速度的单位是长度单位除以时间单位([L/T])，通常以“米每秒”来表示。

加速度

类似于速度，如果它对时间可微分，那么可以定义相对于观察者(\mathcal{O})的加速度(\vec{a}\mathcal{O}(t))，如下：
[
\vec{a}\mathcal{O}(t)= \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{v}\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}_\mathcal{O}(t)}{dt}
]
加速度是速度的时间导数，因此告诉我们速度如何随时间变化。

类似于速率，有瞬时加速度和平均加速度。瞬时加速度是我们刚刚回顾的，平均加速度是通过省略极限计算得到的。在时间间隔长度(\Delta t)上的平均加速度(\left<\vec{a}{\mathcal{O},\Delta t}\right>)，定义为
[
\left< \vec{a}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{v}\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}
]
加速度的单位是长度单位除以时间的平方([L/T^2])，通常以“米每秒平方”来表示。

运动方程

假设我们有一个点物体它相对于观察者(\mathcal{O})以恒定加速度(\vec{a}_\mathcal{O}(t) = \vec{a}_0)运动。如果可以从位置导出速度和加速度，那么通过积分加速度可以计算速度和位置。这种方式得到的结果称为运动方程。

对(\vec{a}\mathcal{O}(t) = \vec{a}0)积分我们得到：
[
\vec{v}\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{a}\mathcal{O}(t) dt = \int \vec{a}_0 dt = \vec{a}0 t + \vec{v}0
]
再积分一次我们得到
[
\vec{r}\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{v}\mathcal{O}(t) dt = \int \vec{a}_0t + \vec{v}_0 dt = \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 + \vec{v}_0t+\vec{r}_0
]
这里，常数(\vec{v}_0)和(\vec{r}0)是积分常数，代表相对于观察者(\mathcal{O})的点物体的初速度和初位置。总结一下，运动方程是：
[
\begin{array}{rl}
\vec{a}\mathcal{O}(t) =& \vec{a}0 \
\vec{v}\mathcal{O}(t) =& \vec{a}_0t+\vec{v}0 \
\vec{r}\mathcal{O}(t) =& \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0t^2 + \vec{v}_0t + \vec{r}_0
\end{array}
]
通过这些方程，可以完整描述任何以恒定加速度运动的点物体的运动。这就建立了通过积分加速度可以计算速度和位置，而通过导数位置可以计算速度和加速度的概念。

请注意，这些是矢量方程，因此可以分解为它们的分量。如果我们在三维空间中对运动进行建模，那么我们将得到以下方式的每个分量：
[
\begin{array}{rl}
\vec{a}\mathcal{O}(t) &= (a_x(t), a_y(t), a_z(t))\
\vec{v}\mathcal{O}(t) &= (v_x(t), v_y(t), v_z(t))\
\vec{r}\mathcal{O}(t) &= (x(t), y(t), z(t))\
\vec{a}0 &= (a{0x}, a{0y}, a_{0z})\
\vec{v}0 &= (v{0x}, v_{0y}, v_{0z})\
\vec{r}0 &= (x{0}, y_{0}, z_{0})\
\end{array}
]
这样，就创建了一组9个方程，每个坐标轴一个。例如，对于(\hat{x})轴，我们将有
[
\begin{array}{rl}
a_x(t) & = a_{0x}\
v_x(t) & = a_{0x}t + v_{0x} \
x(t) & = \displaystyle \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0
\end{array}
]
通常，坐标(\hat{z})用于表示高度，因此假设(a_{0z}=-g \approx -9.81[m/s^2])；即在此轴上的加速度与地球重力产生的加速度有关。这被包括在方程中以模拟自由落体或投射物的发射等现象。