向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n1）或一个1行n列（1n）的有序数组。

向量点乘（内积）

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：
a和b的点积公式为：
要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量：
根据三角形余弦定理有：
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
即：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

• a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
• a·b=0 正交，相互垂直
• a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘（外积、向量积）

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

叉乘公式

对于向量a和向量b：
a和b的叉乘公式为：
其中：
根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

代码示例

在Python中，可以使用NumPy库来计算向量的点乘和叉乘：

import numpy as np

# 定义两个向量
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

# 点乘
dot_product = np.dot(a, b)
print("点乘结果：", dot_product)

# 叉乘
cross_product = np.cross(a, b)
print("叉乘结果：", cross_product)

输出结果：

点乘结果： 32
叉乘结果： [-3  6 -3]

这个结果与文章中提到的计算结果一致，验证了计算的正确性。