偏导数连续性与存在性的判断方法

偏导数连续性与存在性的判断方法

引用

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https://edu.iask.sina.com.cn/jy/3t7Gqgh0Bq7.html

偏导数是高等数学中的一个重要概念，特别是在处理多变量函数时。本文将从偏导数的定义出发，详细介绍如何判断偏导数是否存在以及偏导数连续性的证明方法。

偏导数连续性的证明方法

要证明偏导数连续，可以按照以下步骤进行：

1. 使用定义求出该点的偏导数值c
2. 用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y)
3. 求fx(x,y)当(x,y)趋于该点时的极限
4. 如果limfx(x,y)=c，则偏导数连续；否则不连续

如何判断偏导数是否存在

偏导数的存在性可以通过极限来验证：

1. 偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点(x0,y0)处偏导数的极限表达式
2. 以对x的偏导数为例：lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0) (x趋于x0)
3. 然后用极限的相关知识来考察这个极限是否存在
4. 这个极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的，因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在

偏导数的定义

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

设U⊆n，给定函数f:U→p∈U，f在p点的第i偏导数定义为：
Dif(p)=limt→0(f(p+tei)-f(p))/t=(f°c)(0)
其中c为过点p的方向为ei的线c(t)=p+tei。

具体例子

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 fx(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作fy(x0,y0)。