函数与极限：无穷小的比较

函数与极限：无穷小的比较

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_49433560/article/details/145575949

第七节 无穷小的比较

定义

• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 同阶无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0, k > 0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

定理1 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $\beta = \alpha + o(\alpha)$

定理2 设 $\alpha \sim \widetilde{\alpha}, \beta \sim \widetilde{\beta}$，且 $\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$。

习题 1-7